Równanie różniczkowe fizyczne
Równanie różniczkowe fizyczne
Po wyłączeniu silnika łódź zwalnia po działaniem oporu wody, który jest proporcjonalny do prędkości łodzi. Początkowa prędkość łodzi \(\displaystyle{ V _{0} =2\frac{m}{s}}\) , a po \(\displaystyle{ 4}\) sekundach jej prędkość wynosiła \(\displaystyle{ 1 \frac{m}{s}}\). Po jakim czasie łódź będzie miała prędkość \(\displaystyle{ 0,25 \frac{m}{s}}\) ?
Ostatnio zmieniony 6 gru 2018, o 09:40 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Poprawa wiadomości. Temat umieszczony w złym dziale.
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Równanie różniczkowe fizyczne
Analiza zadania
Opór wody jest proporcjonalny do prędkości łodzi.
Na płynącą łódź działa siła:
\(\displaystyle{ F = -k\cdot x \ \ (1)}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ k}\) - współczynnik proporcjonalności.
Według Prawa Newtona siła ta jest równa iloczynowi masy i przyśpieszenia
\(\displaystyle{ F = m\cdot \frac{dv}{dt} \ \ (2)}\)
Biorąc pod uwagę równania (1), (2) możemy zapisać równanie różniczkowe ruchu łodzi w postaci:
\(\displaystyle{ m\cdot \frac{dv}{dt} = -k\cdot v \ \ (3)}\)
Rozwiązanie
Równanie (3) jest równaniem o zmiennych rozdzielających.
Rozdzielając zmienne, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{dv}{v} = -\frac{k}{m}dt.}\)
Po scałkowaniu
\(\displaystyle{ \ln(v) = -\frac{k}{m}t + A}\)
Ogólne rozwiązanie równania (3)
\(\displaystyle{ v(t) = e^{-\frac{k}{m}t +A}= e^{A}\cdot e^{-\frac{k}{m}t}= Ce^{-\frac{k}{m}t}, \ \ C = e^{A}.}\)
Uwzględniając warunek początkowy: \(\displaystyle{ v(0) = 2\frac{m}{s}}\) mamy:
\(\displaystyle{ 2 = C\cdot e^{-\frac{k}{m}\cdot 0} \ \ C = 2.}\)
Wówczas
\(\displaystyle{ v(t) = 2e^{-\frac{k}{m}t}}\)
Z warunku dodatkowego, że po \(\displaystyle{ 4}\) sekundach prędkość łodzi wynosiła \(\displaystyle{ v(4) = 1\frac{m}{s}}\)
\(\displaystyle{ 1 = 2e^{-\frac{k}{m}\cdot 4}, \ \ e^{-\frac{k}{m}4} = \frac{1}{2} \ \ e^{-\frac{k}{m}}= \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{4}}.}\)
Łódż będzie miała prędkość równą \(\displaystyle{ 0,25 = \frac{1}{4}\frac{m}{s}}\) po czasie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{4} = 2\left[ \left( \frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{4}\right]^{t}}\)
\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = \left(\frac{1}{2}\right) ^{\frac{1}{4}t}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}t =3, \ \ t =12 s.}\)
Łódź będzie miała prędkość \(\displaystyle{ 0,25 \frac{m}{s}}\) po \(\displaystyle{ 12}\) sekundach.
Opór wody jest proporcjonalny do prędkości łodzi.
Na płynącą łódź działa siła:
\(\displaystyle{ F = -k\cdot x \ \ (1)}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ k}\) - współczynnik proporcjonalności.
Według Prawa Newtona siła ta jest równa iloczynowi masy i przyśpieszenia
\(\displaystyle{ F = m\cdot \frac{dv}{dt} \ \ (2)}\)
Biorąc pod uwagę równania (1), (2) możemy zapisać równanie różniczkowe ruchu łodzi w postaci:
\(\displaystyle{ m\cdot \frac{dv}{dt} = -k\cdot v \ \ (3)}\)
Rozwiązanie
Równanie (3) jest równaniem o zmiennych rozdzielających.
Rozdzielając zmienne, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{dv}{v} = -\frac{k}{m}dt.}\)
Po scałkowaniu
\(\displaystyle{ \ln(v) = -\frac{k}{m}t + A}\)
Ogólne rozwiązanie równania (3)
\(\displaystyle{ v(t) = e^{-\frac{k}{m}t +A}= e^{A}\cdot e^{-\frac{k}{m}t}= Ce^{-\frac{k}{m}t}, \ \ C = e^{A}.}\)
Uwzględniając warunek początkowy: \(\displaystyle{ v(0) = 2\frac{m}{s}}\) mamy:
\(\displaystyle{ 2 = C\cdot e^{-\frac{k}{m}\cdot 0} \ \ C = 2.}\)
Wówczas
\(\displaystyle{ v(t) = 2e^{-\frac{k}{m}t}}\)
Z warunku dodatkowego, że po \(\displaystyle{ 4}\) sekundach prędkość łodzi wynosiła \(\displaystyle{ v(4) = 1\frac{m}{s}}\)
\(\displaystyle{ 1 = 2e^{-\frac{k}{m}\cdot 4}, \ \ e^{-\frac{k}{m}4} = \frac{1}{2} \ \ e^{-\frac{k}{m}}= \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{4}}.}\)
Łódż będzie miała prędkość równą \(\displaystyle{ 0,25 = \frac{1}{4}\frac{m}{s}}\) po czasie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{4} = 2\left[ \left( \frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{4}\right]^{t}}\)
\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = \left(\frac{1}{2}\right) ^{\frac{1}{4}t}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}t =3, \ \ t =12 s.}\)
Łódź będzie miała prędkość \(\displaystyle{ 0,25 \frac{m}{s}}\) po \(\displaystyle{ 12}\) sekundach.
-
- Użytkownik
- Posty: 6882
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 1112 razy
Re: Równanie różniczkowe fizyczne
Czwarte równanie
\(\displaystyle{ \frac{dv}{v} = -\frac{k}{m}dt.}\)
łatwo jest też otrzymać z równania popędu masy:
\(\displaystyle{ m dv = - Fdt}\), gdzie z racji proporcjonalności: \(\displaystyle{ F=v \cdot k}\)
i dalej tak, jak pokazał to pan Janusz47
\(\displaystyle{ \frac{dv}{v} = -\frac{k}{m}dt.}\)
łatwo jest też otrzymać z równania popędu masy:
\(\displaystyle{ m dv = - Fdt}\), gdzie z racji proporcjonalności: \(\displaystyle{ F=v \cdot k}\)
i dalej tak, jak pokazał to pan Janusz47