Okreslic predkosc z jaka uderzy w ziemie meteoryt. Zakładamy, ze porusza
sie po lini prostej prostopadłej do powierzchni ziemi i jego przyspieszenie jest
proprcjonalne do odwrotnosci kwadratu odległosci od srodka ziemi.
\(\displaystyle{ V'=a \\
s=Vt-\frac{at^{2}}{2} \\
a= \left( R+s \right) ^{2} \\
V'= \left( R+Vt-\frac{V't^{2}}{2} \right) ^{2}}\)
Czy ułożone przeze mnie równanie jest poprawne?
Zastosowanie równań różniczkowych w fizyce
-
AnetaK
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 1 gru 2018, o 22:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Ocieka
- Podziękował: 1 raz
Zastosowanie równań różniczkowych w fizyce
Ostatnio zmieniony 5 gru 2018, o 20:33 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Poprawa wiadomości. Temat umieszczony w złym dziale.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7922
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1672 razy
Zastosowanie równań różniczkowych w fizyce
Analiza zadania
Meteoryt spadający pod wpływem siły ciężkości uzyskuje przyśpieszenie:
\(\displaystyle{ \frac{k}{r^2}}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ k}\) jest współczynnikiem proporcjonalności
\(\displaystyle{ r}\) - odległością meteorytu od środka Ziemi.
Wobec tego \(\displaystyle{ a = g\cdot \frac{k}{r^2_{Z}} = -g \ \ (1)}\)
Znak minus wynika z tego, że odległość \(\displaystyle{ r_{Z}}\) liczona jest od środka Ziemi \(\displaystyle{ (R =0),}\) a przyśpieszenie skierowane jest do środka Ziemi.
Rozwiązanie
Z równania (1) mamy
\(\displaystyle{ k = -g\cdot r^2_{Z}}\)
Przyśpieszenie całkowite można więc wyrazić w postaci:
\(\displaystyle{ a = - \frac{g\cdot r^2_{Z}}{r^2} \ \ (2)}\)
Zakładając, że meteoryt spada prostopadle i prostoliniowo do środka Ziemi \(\displaystyle{ O}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ v = \frac{dr}{dt}, \ \ a = \frac{dv}{dt}}\)
Skąd
\(\displaystyle{ \frac{a}{v} = \frac{dv}{dr}, \ \ a = \frac{v\cdot dv}{dr}}\)
W ten sposób dochodzimy do równania różniczkowego o zmiennych rozdzielających.
\(\displaystyle{ \frac{v\cdot dv }{dr} = - \frac{g\cdot r^2_{Z}}{r^2}.}\)
Rozdzielając zmienne i całkując, otrzymamy
\(\displaystyle{ v^2 = \frac{2g^2_{Z}}{r} + C \ \ (3)}\)
Z warunków początkowych wiadomo, że \(\displaystyle{ v = 0,}\) gdy \(\displaystyle{ r = R.}\)
Podstawiając te wartości do równania \(\displaystyle{ (3)}\) znajdujemy stałą
\(\displaystyle{ C = -2g \frac{r^2_{Z}}{R}.}\)
Z równania (3)
\(\displaystyle{ v(r) = -\sqrt{\frac{2g\cdot r^2_{Z}}{r} - \frac{2g\cdot r^2_{Z}}{R}} = -\sqrt{ 2g\cdot r^2_{Z}\left (\frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)}\ \ (4)}\)
Prędkość końcowa meteorytu:
\(\displaystyle{ v_{k} = v(r_{Z}).}\)
Proszę podstawić do równania \(\displaystyle{ (4)}\) wartości liczbowe:
\(\displaystyle{ r_{Z} = 6377 km = 6,377\cdot 10^{6}m, \ \ R}\)- odległość początkową meteorytu od Ziemi.
Meteoryt spadający pod wpływem siły ciężkości uzyskuje przyśpieszenie:
\(\displaystyle{ \frac{k}{r^2}}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ k}\) jest współczynnikiem proporcjonalności
\(\displaystyle{ r}\) - odległością meteorytu od środka Ziemi.
Wobec tego \(\displaystyle{ a = g\cdot \frac{k}{r^2_{Z}} = -g \ \ (1)}\)
Znak minus wynika z tego, że odległość \(\displaystyle{ r_{Z}}\) liczona jest od środka Ziemi \(\displaystyle{ (R =0),}\) a przyśpieszenie skierowane jest do środka Ziemi.
Rozwiązanie
Z równania (1) mamy
\(\displaystyle{ k = -g\cdot r^2_{Z}}\)
Przyśpieszenie całkowite można więc wyrazić w postaci:
\(\displaystyle{ a = - \frac{g\cdot r^2_{Z}}{r^2} \ \ (2)}\)
Zakładając, że meteoryt spada prostopadle i prostoliniowo do środka Ziemi \(\displaystyle{ O}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ v = \frac{dr}{dt}, \ \ a = \frac{dv}{dt}}\)
Skąd
\(\displaystyle{ \frac{a}{v} = \frac{dv}{dr}, \ \ a = \frac{v\cdot dv}{dr}}\)
W ten sposób dochodzimy do równania różniczkowego o zmiennych rozdzielających.
\(\displaystyle{ \frac{v\cdot dv }{dr} = - \frac{g\cdot r^2_{Z}}{r^2}.}\)
Rozdzielając zmienne i całkując, otrzymamy
\(\displaystyle{ v^2 = \frac{2g^2_{Z}}{r} + C \ \ (3)}\)
Z warunków początkowych wiadomo, że \(\displaystyle{ v = 0,}\) gdy \(\displaystyle{ r = R.}\)
Podstawiając te wartości do równania \(\displaystyle{ (3)}\) znajdujemy stałą
\(\displaystyle{ C = -2g \frac{r^2_{Z}}{R}.}\)
Z równania (3)
\(\displaystyle{ v(r) = -\sqrt{\frac{2g\cdot r^2_{Z}}{r} - \frac{2g\cdot r^2_{Z}}{R}} = -\sqrt{ 2g\cdot r^2_{Z}\left (\frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)}\ \ (4)}\)
Prędkość końcowa meteorytu:
\(\displaystyle{ v_{k} = v(r_{Z}).}\)
Proszę podstawić do równania \(\displaystyle{ (4)}\) wartości liczbowe:
\(\displaystyle{ r_{Z} = 6377 km = 6,377\cdot 10^{6}m, \ \ R}\)- odległość początkową meteorytu od Ziemi.