Matematyka.pl

Korzystając z zasady zachowania energii, oblicz na jaką wysokość nad powierzchnię Ziemi dotarłoby ciało rzucone pionowo z prędkością o wartości pierwszej prędkości kosmicznej, gdyby nie było oporu powietrze

Musimy porównać ze sobą zmianę energii potencjalnej oraz kinetycznej ciała. A więc:
G - stała grawitacji
M- masa ziemi
m- masa ciała
r- odległość od środka ziemi
R- promien ziemi
\(\displaystyle{ V_{I}}\) - pierwsza prędkość kosmiczna
\(\displaystyle{ \Delta E_{p} = \Delta E_{k}}\)
\(\displaystyle{ E_{p} = - \frac{GMm}{r} E_{k}=\frac{mv^{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ V_{I} = \sqrt{\frac{GM}{R}}}\)

Teraz policzymy energię potencjalną i kinetyczną na powierzchni ziemie w chwili startu ciała

\(\displaystyle{ E_{p1} = - \frac{GMm}{R}}\)
do wzoru na kinetyczną podstawiamy od razu wzór na v
\(\displaystyle{ E_{k1} = \frac{mGM}{2R}}\)

teraz policzymy energię potencjalną w miejscu do którego ciało doleci, energia kinetyczna w tym miejscu jest już równa 0
\(\displaystyle{ E_{p2} = - \frac{GMm}{R+h}}\)

\(\displaystyle{ E_{k2} = 0}\)

\(\displaystyle{ E_{p1} + E_{k1} = E_{p2}}\)

\(\displaystyle{ - \frac{GMm}{R} + \frac{mGM}{2R} = - \frac{GMm}{R+h}}\)

\(\displaystyle{ \frac{GMm}{2R} = \frac{GMm}{R+h}}\)
no i po przekształceniu wychodzi, że h = R czyli, że ciało wzniesie się na wysokość równą promieniowi ziemi