Iloczyn wektorowy - uzasadnienie wzoru

[klimek99]

Witam

Chciałbym o coś zapytać, chodzi o wektory.
Czytam ostatnio książkę – Z geometrią za pan brat
Doszedłem do rachunku wektorowego, za jego pomocą udowadnia się w pewnym miejscu książki twierdzenie cosinusów w trójkącie.
Wszystko jest dla mnie jasne, tylko jedno sprawia mi kłopot.
W pewnym momencie dochodzimy do mnożenia wektorów.
Chciałem zapytać: czemu iloczyn wektorów oznacza mnożenie obu wektorów przez siebie i cosinus kąta między nimi.
Skąd wziął się ten cosinus? Nie mogę nigdzie odnaleźć uzasadnienia tego faktu.
Proszę o pomoc.

Pozdrawiam

[AiDi]

Iloczyn wektorów to w ogólności nie to samo co iloczyn wektorowy, bo mamy jeszcze iloczyn skalarny. I o ten właśnie pytasz.

Skąd wziął się ten cosinus? Nie mogę nigdzie odnaleźć uzasadnienia tego faktu.

Definicji jako takich uzasadniać nie trzeba Motywacji stojących za taką definicją było pewnie wiele. Otóż np. w fizyce często potrzebujemy znaleźć iloczyn długości wektora \(\displaystyle{ \vec{a}}\) przez długość rzutu innego wektora \(\displaystyle{ \vec{b}}\) na wektor \(\displaystyle{ \vec{a}}\). Jak sobie zrobisz rysunek i oznaczysz kąt między tymi wektorami przez \(\displaystyle{ \alpha}\) to zobaczysz, że iloczyn ten ma wartość \(\displaystyle{ |\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha}\). Takie coś pojawia się na tyle często, że ktoś wpadł na pomysł nadać temu osobną nazwę, iloczyn skalarny wektorów \(\displaystyle{ \vec{a}}\) i \(\displaystyle{ \vec{b}}\).

Chciałem zapytać: czemu iloczyn wektorów oznacza mnożenie obu wektorów przez siebie i cosinus kąta między nimi.

Mnożenie długości obu wektorów przez siebie.

[klimek99]

Definicji jako takich uzasadniać nie trzeba

Mam inne zdanie na ten temat ale nie chce być obrazoburczy

Otóż np. w fizyce często potrzebujemy znaleźć iloczyn długości wektora \(\displaystyle{ \vec{a}}\) przez długość rzutu innego wektora \(\displaystyle{ \vec{b}}\) na wektor \(\displaystyle{ \vec{a}}\). Jak sobie zrobisz rysunek i oznaczysz kąt między tymi wektorami przez \(\displaystyle{ \alpha}\) to zobaczysz, że iloczyn ten ma wartość \(\displaystyle{ |\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha}\). Takie coś pojawia się na tyle często, że ktoś wpadł na pomysł nadać temu osobną nazwę, iloczyn skalarny wektorów \(\displaystyle{ \vec{a}}\) i \(\displaystyle{ \vec{b}}\).

No własnie ja nic nie widzę:(
=========
Zrobiłem małe podsumowanie mojej 'wiedzy' o wektorach.

Wektory są jakby odpowiednikiem liczb dla fizyki.
Przyczyną dla której weszły do użytku jest to że nie wszystkie wielkości którymi możemy opisać ciało można określić liczbą taką jaką znamy z matematyki.
Są pewne właściwości u ciał fizycznych których opis wymaga czegoś więcej.
Tymi właściwościami są przesunięcia np 2D lub 3D ale też prędkość.
Ja się skupię na przesunięciach (rachunek wektorowy).

Wiem że wektory opisują ciało fizyczne.
Wektory można dodawać.
Wektory można dodawać przez sumowanie odpowiednich składowych.
Można je też odejmować.
Czy wszystko się zgadza?

Ale nie mogę pojąc jak mogę mnożyć wektory.
Próbuje sobie wyjaśnić mnożenie wektorów jak za dzieciaka wyjaśniłem sam sobie mnożenie.
Jak w matematyce mam dodać do siebie \(\displaystyle{ 2+2+2+2+2+2+2+2+2}\) to mogę sobie ten zapis skrócić do \(\displaystyle{ 9}\) razy \(\displaystyle{ 2}\) bo \(\displaystyle{ 9 \cdot 2}\) oznacza że dodaje do siebie dwójki \(\displaystyle{ 9}\) razy.
Niestety nie mogłem w ten sam sposób postąpić z wektorami.
========
Z tego co się dowiedziałem.
W fizyce mówi się o skalarach czyli zwykłych liczbach i właśnie wektorów.
Mamy w fizyce mnożenie skalarne (wynikiem jest liczba) i iloczyn wektorowy (wynikiem wektor)

Jeżeli mowa o iloczynie skalarnym to mamy
a) Skalar * skalar <- nic fascynującego mnożenie liczb przez liczbę - zwykła matma
b) skalar * wektor <- dość łatwe - gdy wektor opisuje przesunięcie o dajmy na to \(\displaystyle{ 2}\) metry a my mnożymy ten wektor przez \(\displaystyle{ 2}\) to oznacza że ciało przesunęło się o \(\displaystyle{ 4}\) metry.
c) Wektor razy wektor <- tu się wykrzaczam

Dajmy na to że mam wektor \(\displaystyle{ \vec{A} = (2;0)}\) i \(\displaystyle{ \vec{B} = (0;2)}\)
Ich suma to wektor \(\displaystyle{ \vec{C} = (2;2)}\)
Znam jego współrzędne więc mogę do mnożenia wykorzystać dwa wzory
1) \(\displaystyle{ \vec{A} \cdot \vec{B} = \left[ x_1 \cdot y_1+x_2 \cdot y_2\right]}\)
2) \(\displaystyle{ \vec{A} \cdot \vec{B} = \left| \vec{A} \right|\cdot\left| \vec{B} \right| \cdot \cos \alpha}\)

Lecz teraz pytanie co ja tak naprawdę uzyskałem?
Wiem że liczbę lecz co ona odzwierciedla?

O iloczyn wektorowy to nawet nie zaczepiam w tym poście.

[AiDi]

Wektory są jakby odpowiednikiem liczb dla fizyki.

Nie, wektory to osobna kategoria obiektów matematycznych używanych w fizyce obok zwykłych liczb.

Przyczyną dla której weszły do użytku jest to że nie wszystkie wielkości którymi możemy opisać ciało można określić liczbą taką jaką znamy z matematyki.

Matematyka jest jedna, liczba w fizyce i matematyce to to samo. Wektorów się używa ponieważ niektórych własności ciała nie można określić za pomocą jednej liczby. Np. prędkości.

Wiem że wektory opisują ciało fizyczne.

Własności ciała, nie ciało Wbrew pozorom to istotne rozróżnienie .

Ale nie mogę pojąc jak mogę mnożyć wektory.
Próbuje sobie wyjaśnić mnożenie wektorów jak za dzieciaka wyjaśniłem sam sobie mnożenie.

Za bardzo przywiązujesz się do słowa "iloczyn". To słowo ma trochę szersze znaczenie niż tylko iloczyn liczb. Iloczyn skalarny wektorów nazywa się iloczynem, bo ma podobne własności do iloczynu zwykłych liczb rzeczywistych. Dużo w matematyce iloczynów.

Niestety nie mogłem w ten sam sposób postąpić z wektorami.

Dlatego, że za bardzo skupiasz się na słowie "iloczyn"

Jeżeli mowa o iloczynie skalarnym to mamy
a) Skalar * skalar <- nic fascynującego mnożenie liczb przez liczbę - zwykła matma

To co napisałeś to nie iloczyn skalarny tylko iloczyn skalarów. To są różne rzeczy!

Znam jego współrzędne więc mogę do mnożenia wykorzystać dwa wzory

1. Pierwotnie zapisałeś te wzory używając symbolu \(\displaystyle{ \times}\), który oznacza iloczyn wektorowy wektorów. Zatem trzeba używać kropki, albo czegoś podobnego.
2. Wzory które podałeś opisują jeden i ten sam iloczyn skalarny. Któryś z nich trzeba przyjąć za definicję, wtedy drugi się wyprowadza z tej definicji. W fizyce elementarnej zwykle przyjmuje się za definicję \(\displaystyle{ \vec{A}\cdot \vec{B}=|\vec{A}||\vec{B}|\cos\alpha}\) w matematyce za to \(\displaystyle{ \vec{A}\cdot\vec{B}=x_1y_1+x_2y_2}\). Każdy z tych wzorów można wyprowadzić z drugiego, tylko któryś trzeba przyjąć za definicję.

Lecz teraz pytanie co ja tak naprawdę uzyskałem? Wiem że liczbę lecz co ona odzwierciedla?

Liczba ta to iloczyn długości wektora \(\displaystyle{ \vec{A}}\) przez długość rzutu wektora \(\displaystyle{ \vec{B}}\) na kierunek wektora \(\displaystyle{ \vec{A}}\). Takie coś jest w praktyce fizycznej bardzo często potrzebne, np. w definicji pracy i wszędzie tam gdzie potrzebujemy rzutu wektora na pewien określony kierunek. W paru prostych przypadkach liczba ta da nam wartość pracy pewnej siły na pewnej drodze w ruchu prostoliniowym. Czasem da nam energię potencjalną, np. energia potencjalna dipola magnetycznego \(\displaystyle{ \vec{\mu}}\) w zewnętrznym polu magnetycznym o indukcji \(\displaystyle{ \vec{B}}\) jest dana przez iloczyn skalarny \(\displaystyle{ E_p=-\vec{B}\cdot\vec{\mu}}}\). Geometrycznie jeśli mamy jakiś wektor jednostkowy \(\displaystyle{ \vec{s}}\), który wyznacza pewną prostą, to iloczyn skalarny \(\displaystyle{ \vec{A}\cdot\vec{s}}\) daje nam na wyjściu rzut wektora \(\displaystyle{ \vec{A}}\) na kierunek tej prostej (pomijam kwestię znaku tego co wyjdzie).
Po prostu jest wiele sytuacji, w których takie coś się pojawia, więc postanowiono nazwać to iloczynem (bo jest podobny do zwykłego iloczynu liczb) skalarnym (bo na wyjściu dostajemy skalar) wektorów. Nie ma w tym żadnej głębszej filozofii

[klimek99]

Rozumiem,

Czyli choć mnożenie skalarów i iloczyn skalarny to dwie rożne operację to ich nazwa berze się z tego iż mają podobne własności.
Czy w matematyce są jeszcze inne takie operację?
Możesz rzucić jakąś nazwę bez wdawania się w szczegóły, tak z ciekawości pytam:)

Liczba ta to iloczyn długości wektora \(\displaystyle{ \vec{A}}\) przez długość rzutu wektora \(\displaystyle{ \vec{B}}\) na kierunek wektora \(\displaystyle{ \vec{A}}\).

Próbuje zdeszyfrować:)
Gdzieś słyszałem że iloczyn skalarny odpowiada jakby na pytanie na ile dwa wektory są równoległe.
Czy takie rozumienie jest dobre?

[AiDi]

Czy w matematyce są jeszcze inne takie operację?
Możesz rzucić jakąś nazwę bez wdawania się w szczegóły, tak z ciekawości pytam:)

Iloczyn wektorowy wektorów, iloczyn macierzy, iloczyn tensorowy (np. modułów, przestrzeni wektorowych, algebr; w kontekście macierzy nazywany iloczynem Kroneckera), iloczyn zewnętrzny, iloczyn prosty i półprosty w teorii grup, iloczyn kartezjański zbiorów, bez którego nie da się ładnie i formalnie zdefiniować żadnego z powyższych.

Próbuje zdeszyfrować:)

Na

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Iloczyn_skalarny

jest nawet ładny rysunek do tego

Gdzieś słyszałem że iloczyn skalarny odpowiada jakby na pytanie na ile dwa wektory są równoległe.
Czy takie rozumienie jest dobre?

W sumie można na to tak patrzeć. Jeśli mamy dwa wektory o ustalonej długości, to iloczyn skalarny przyjmuje największą wartość kiedy wektory są równoległe i mają ten sam zwrot. Natomiast gdy są prostopadłe to ich iloczyn skalarny jest równy zeru.

[SidCom]

Ja wolałbym zapis: \(\displaystyle{ \vec{A}\cdot\vec{B}=x_1x_2+y_1y_2}\)
(iksy to pierwsze współrzędne igreki to drugie, jedynka dotyczy pierwszego wektora, 2 drugiego - tak jest czytelniej)

[a4karo]

Ja wolałbym zapis: \(\displaystyle{ \vec{A}\cdot\vec{B}=x_1x_2+y_1y_2}\) iksy to pierwsze współrzędne igreki to drugie, jedynka dotyczy pierwszego wektora, 2 drugiego - tak jest czytelniej)

A ja wolałbym zapis: \(\displaystyle{ \vec{A}\cdot\vec{B}=a_1b_1+a_2b_2}\)

[SidCom]

Ja wolałbym zapis: \(\displaystyle{ \vec{A}\cdot\vec{B}=x_1x_2+y_1y_2}\) iksy to pierwsze współrzędne igreki to drugie, jedynka dotyczy pierwszego wektora, 2 drugiego - tak jest czytelniej)

A ja wolałbym zapis: \(\displaystyle{ \vec{A}\cdot\vec{B}=a_1b_1+a_2b_2}\)

Jest jeszcze lepszy...

[klimek99]

Czekaj, czekaj bo chya coś zaczynam łapać.

Liczba ta to iloczyn długości wektora \(\displaystyle{ \vec{A}}\) przez długość rzutu wektora \(\displaystyle{ \vec{B}}\) na kierunek wektora \(\displaystyle{ \vec{A}}\).

Czy fragment

długość rzutu wektora \(\displaystyle{ \vec{B}}\) na kierunek wektora \(\displaystyle{ \vec{A}}\).

odnosi się do tego że wektor \(\displaystyle{ B}\) możemy przedstawić jako sumę dwóch składowych - pionowej i poziomej?
Czy funkcja trygonometryczna - tu cosinus - jest potrzebna abyśmy wiedzieli jaka część długości wektora przejdzie do składowej poziomej a jaka do pionowej?

Np. mamy cosinus \(\displaystyle{ 60}\) stopni. Czy to oznacza że składowa pozioma tego wektora wynosi połowę jego długości a pozostała część - tu też połowa - przeszła niejako na składową poziomą?

[AiDi]

Czy fragment (...) odnosi się do tego że wektor \(\displaystyle{ B}\) możemy przedstawić jako sumę dwóch składowych - pionowej i poziomej?

Zamiast standardowego pionu i poziomu lepiej na tak: wektor \(\displaystyle{ \vec{A}}\) leży na pewnej prostej, prosta ta wyznacza oczywiście pewien kierunek. Wektor \(\displaystyle{ \vec{B}}\) możemy przedstawić jako sumę dwóch składowych - składowej leżącej wzdłuż kierunku wektora \(\displaystyle{ \vec{A}}\) (jak odpowiednio obrócisz rysunek to możesz to nazwać "poziomem") i składowej prostopadłej do wektora \(\displaystyle{ \vec{A}}\) (można to czasem nazwać "pionem").

Czy funkcja trygonometryczna - tu cosinus - jest potrzebna abyśmy wiedzieli jaka część długości wektora przejdzie do składowej poziomej a jaka do pionowej?

Prawie tak. Funkcja cosinus związana jest ze składową "poziomą", a sinus z "pionową".

Np. mamy cosinus \(\displaystyle{ 60}\) stopni. Czy to oznacza że składowa pozioma tego wektora wynosi połowę jego długości a pozostała część - tu też połowa - przeszła niejako na składową poziomą?

Połowa przejdzie na składową "poziomą", ale na składową "pionową" nie przejdzie połowa tylko \(\displaystyle{ \sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}}\). Iloczyn \(\displaystyle{ \vec{A}\cdot\vec{B}}\) daje nam (z dokładnością do znaku) iloczyn długości "poziomego" wektora \(\displaystyle{ \vec{A}}\) i długości "poziomej" składowej wektora \(\displaystyle{ \vec{B}}\).