Sir Ferdek pisze:tutaj trzeba zastosować ciągi liczbowe, ale niewiem jak (jeszcze się nie uczyłem).
Cóż to za pomysł, aby takie zadanie dawać komuś w Twoim wieku, skoro, jak piszesz, z szeregami geometrycznymi jeszcze nie miałeś kontaktu .
Zakładamy, iż kulka odbijać się będzie nieskończoną ilość razy i nie występują żadne straty energii mechanicznej.
Czas spadania z wysokości początkowej
h oznaczmy przez
\(\displaystyle{ t_0}\). Czas wznoszenia po pierwszym odbiciu oznaczmy przez
\(\displaystyle{ t_1}\), będzie on identyczny, jak czas spadania z wysokości oznaczonej przez nas
\(\displaystyle{ h_1}\). Analogicznie - czasy po odbiciu drugim, trzecim, czwartym, ...,
n-tym oznaczymy przez
\(\displaystyle{ t_2, \ t_3, \ t_4, \ ..., \ t_n}\).
Zauważ, iż kulka spadając z wysokości początkowej osiągnie prędkość końcową (tuż przed zetknięciem z gruntem), którą można uzyskać z zasady zachowania energii:
\(\displaystyle{ mgh=\frac{mv_{0}^{2}}{2} \\ v_{0}=\sqrt{2gh}}\)
Można udowodnić, iż prędkość, jaką dysponować będzie kulka bezpośrednio po pierwszym odbiciu będzie taka sama, jak bezpośrednio przed drugim odbiciem, gdyż ruch w polu grawitacyjnym jest symetryczny. Okaże się także, iż czas wznoszenia się kulki po pierwszym odbiciu jest taki sam, jak czas opadania po pierwszym i jednocześnie przed drugim odbiciem.
Jak wyznaczyć ów czas? Wiemy, że dla ciała opadającego w polu grawitacyjnym bez prędkości początkowej (a tak jest, gdyż zanim kulka zacznie opadać, wzbije się na pewną wysokość
\(\displaystyle{ h_n}\) i zatrzyma się na ułamek sekundy) prędkość wyraża się funkcją liniową czasu jako
\(\displaystyle{ v(t)=gt}\). W szczególności, po czasie
\(\displaystyle{ t=t_n}\) prędkość kulki wyniesie
\(\displaystyle{ v_n}\):
\(\displaystyle{ gt_{n}=v_{n} \\ t_{n}=\frac{v_{n}}{g}}\)
Ile wyniesie
\(\displaystyle{ v_{n}}\)? W treści zadania podano, że prędkość po odbiciu jest
k razy mniejsza od prędkości bezpośrednio przed odbiciem:
\(\displaystyle{ v_{1}=\frac{v_{0}}{k} \\ v_{2}=\frac{v_{1}}{k}=\frac{v_{0}}{k^2} \\ v_{3}=\frac{v_{2}}{k}=\frac{v_{0}}{k^3} \\ ... \\ v_{n}=\frac{v_{n-1}}{k}=\frac{v_{0}}{k^n}}\)
Stąd
\(\displaystyle{ t_{n}=\frac{v_{0}}{gk^n}}\).
Od odbicia
n-tego do odbicia
(n+1)-szego mijają dokładnie dwa czasy
\(\displaystyle{ t_n}\), stąd czas całkowity, od momentu rozpoczęcia lotu kulki, równy będzie sumie wszystkich czasów "po drodze":
\(\displaystyle{ T=t_0+2t_1+2t_2+2t_3+...+2t_n+...=t_0+2(t_1+t_2+t_3+...)}\)
Możemy to zapisać w sposób bardziej elegancki, korzystając ze znaczka
\(\displaystyle{ \Sigma}\) (grecka litera sigma), który oznacza sumę:
\(\displaystyle{ T=t_0+2\sum_{n=1}^{\infty}t_{n} \\ T=\frac{\sqrt{2gh}}{g}+2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{v_0}{gk^n}=\sqrt{\frac{2h}{g}}+\frac{2v_0}{g}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{k^n}=\sqrt{\frac{2h}{g}}+\frac{2\sqrt{2gh}}{g}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{k^n}=\sqrt{\frac{2h}{g}}+\sqrt{\frac{8h}{g}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{k^n}}\)
Drugi człon to suma szeregu liczbowego, który ma na szczęście tę cechę, iż jest szeregiem geometrycznym - związany z nim ciąg czasów lotu
\(\displaystyle{ (t_n)}\) rośnie w sposób geometryczny, czyli
\(\displaystyle{ t_n=t_1q^{n-1}}\), gdzie
q nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego. Jeżeli spełnia on warunek
\(\displaystyle{ |q|}\)