Jak interpretować potencjał?

[Czarteg]

Pytanie jak wyżej. Jest to pytanie problemowe jakie daje nam prowadzący w celu przygotowania do egzaminu. Nie chodzi tu o potencjał elektrostatyczny, ponieważ tego nie przerabialiśmy. Mówiliśmy o potencjale sił zachowawczych i o ogólnej definicji potencjału, ale nie wiem jaka jest interpretacja potencjału.

[szw1710]

Napięcie - różnica potencjałów elektrostatycznych na końcach obwodu. Praca w polu grawitacyjnym - różnica potencjałów grawitacyjnych w punktach końcowym i początkowym. Itp. Matematycznie potencjał spełnia pewne równania związane z pochodnymi. Wzór Newtona-Leibniza mówi, że \(\displaystyle{ \int_a^b f(x)\dd x=F(b)-F(a)}\), gdzie \(\displaystyle{ F'(x)=f(x)}\) dla \(\displaystyle{ x\in[a,b],}\) zaś \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła w tym przedziale. Tak więc funkcja pierwotna to też pewnego rodzaju potencjał jednej zmiennej.

Ogólnie potencjał jest pewną funkcją skalarną. Pole zaś jest wektorowe.

[kruszewski]

Tu najpewniej chodzi o potencjał kinetyczny
\(\displaystyle{ W= E - U}\)
gdzie \(\displaystyle{ U}\) jest energią potencjalną pola, zaś \(\displaystyle{ E}\) energią kinetyczną układu.

Problem w: Równania Lagrange`a II-go rodzaju.

[Czarteg]

Hmmm.. Oczywiście wasze odpowiedzi są poprawne i dziękuje za pomoc. Jednak mój prowadzący jest dość specyficzny i wydaje mi się, że chodzi o uzasadnienie słowne. Krótkie i zwięzłe, bo na egzaminach jest miejsce na cztery zdania :/ Ktoś ma jakiś pomysł?

[kruszewski]

A z jakiego przedmiotu ów prowadzący odpytuje?

[Czarteg]

Przedmiot nazywa się wstęp do fizyki, na PW k woli ścisłości.

[kruszewski]

Czyli nie lagranżjan i nic z prac przygotowanych.
Zatem problem w polu potencjalnym.
Może tu będzie odpowiedź:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Potencja%C5%82

[siwymech]

.............................................
Skoro egzamin , to odpowiedź na pytanie- myślę, że wyczerpującą znajdzie Pan w książce
A.Piekara. Mechanika ogólna .Tam podrozdział pt. Pole sił i potencjał.
......................................................
Dbajmy o poprawność.
Lagrangian(Lagranżjan). Równanie, twierdzenie Lagrange'a.

[kruszewski]

Czy nie chodzi tu o "dopływ" energii kinetycznej do układu ?

[AiDi]

Potencjał elektrostatyczny to tylko jeden z przykładów potencjałów. Wszystko nawiązuje do ogólnego pola sił potencjalnych. Siłę nazywamy potencjalną wtedy, gdy praca tej siły między dwoma punktami nie zależy od drogi łączącej te punkty, tylko od nich samych. Wtedy do gry wchodzi odpowiednie twierdzenie analizy wektorowej, mniej więcej mówiące że jeśli całka krzywoliniowa pola nie zależy od krzywej po której całkujemy, to istnieje funkcja, której gradient jest równy rozważanemu polu. W kontekście fizyki dostawia się tam minus, żeby funkcję tę można było interpretować jako energię. I w takim ogólnym kontekście nazywa się ją czasem potencjałem. Interpretacja fizyczna to po prostu energia potencjalna związana z rozważaną siłą.

Dbajmy o poprawność.
Lagrangian(Lagranżjan).

O ile mi wiadomo to w języki polskim rzeczowników pochodzących od nazwisk nie piszemy wielką literą. Za to w języku angielskim już tak. Chyba, że chodziło o coś innego.

[daras170]

.............................................
Skoro egzamin , to odpowiedź na pytanie- myślę, że wyczerpującą znajdzie Pan w książce
A.Piekara. Mechanika ogólna .Tam podrozdział pt. Pole sił i potencjał.
......................................................
Dbajmy o poprawność.
Lagrangian(Lagranżjan). Równanie, twierdzenie Lagrange'a.

skoro lagrangian to z małej litery

[cegielnik]

Potencjał jest to pojęcie z obszaru teorii pola. Zacznijmy od tego czym są w ogóle pola skalarne, do których należy potencjał.

Pole skalarne to funkcja która każdemu punktowi przestrzeni przypisuje wartość liczbową.
Może to być na przykład rozkład temperatur w Polsce. Każdemu miejscu w Polsce przypisujemy wartość temperatury.

Potencjał jest szczególnym polem skalarnym. Trudno mówić o nim ogólnie, bez odniesienia do jego fizycznej interpretacji, bo przecież to właśnie na jej podstawie tworzy się tą matematyczną funkcję.

Czym jest potencjał? (na przykładzie elektrostatyki)

Potencjałem pola elektrycznego nazywamy stosunek energii potencjalnej jaką posiada ładunek w danym punkcie do wartości tego ładunku.

I teraz po co ten potencjał? W fizyce potrzebujemy mieć pewien parametr/ pewną funkcję która opisywałaby zależność energii potencjalnej np statycznego ładunku elektrycznego od jego położenia. Wiedzielibyśmy wtedy jaką pracę musimy wykonać żeby go przesunąć po danej drodze.
Możemy więc stworzyć funkcję opisującą rozkład energii potencjalnych ładunku w funkcji jego położenia, ale szybko okazałoby się że takie pole jest przydatne tylko w przypadku tego, konkretnego ładunku, ponieważ przedstawiałoby tylko jego energię potencjalną. A co z innymi ładunkami?

Jeżeli jednak chcemy mieć funkcję uniwersalną, opisującą rozkład tych energii niezależnie od wartości ładunku, dzielimy tą funkcję przez ładunek i otrzymujemy potencjał. Potencjał jest więc miarą energii potencjalnej jaką posiadają ładunki w pewnej przestrzeni. Mnożąc wartość potencjału razy konkretny ładunek uzyskamy wartość jego energii potencjalnej.

Podobnie rozumuje się tworząc różnego rodzaju pola, zarówno skalarne jak i wektorowe.
Przykładowe pole wektorowe to natężenie grawitacyjne. To siła działająca na masę odniesiona do wartości tej masy.
\(\displaystyle{ \vec{g} = \frac{ \vec{F} }{m}}\)
Jeżeli wektor F będzie funkcją położenia to możemy go nazwać polem.

Potencjał elektrostatyczny ma swój odpowiednik w potencjale grawitacyjnym. Potencjał grawitacyjny oznacza rozkład energii potencjalnych ciała o masie m podzielony przez masę tego ciała (czyli przez m)
\(\displaystyle{ V= \frac{Ep}{m}}\)

[AiDi]

Trudno mówić o nim ogólnie, bez odniesienia do jego fizycznej interpretacji

Wcale nie, bo jak pisałem istnienie 'potencjału' to treść czysto matematycznego twierdzenia analizy wektorowej, niezależna od fizycznych interpretacji.

W fizyce potrzebujemy mieć pewien parametr/ pewną funkcję która opisywałaby zależność energii potencjalnej

Najpierw musimy mieć pewność, że energia potencjalna związana z danym polem sił w ogóle istnieje. Takiego samego rozumowania nie przeprowadzisz np. dla pola magnetycznego.

[cegielnik]

Takiego samego rozumowania nie przeprowadzisz np. dla pola magnetycznego.

Oczywiście, zgadzam się. Z polem magnetycznym jest jeszcze taka sprawa, że czasem wyróżnia się jego skalarny potencjał magnetyczny \(\displaystyle{ V _{m}}\) obok wektorowego potencjału magnetycznego \(\displaystyle{ \vec{A}}\). Może on istnieć dla szczególnej klasy pól magnetycznych w obszarach w których nie płyną prądy. Jest więc wykorzystywany rzadko, bo przeważnie nie istnieje. Istnienie obu tych potencjałów, zarówno wektorowego jak i skalarnego przewiduje twierdzenie Helmholtza.