Rzut ukosny

[jujon123]

Pocisk ma być wystrzelony z poziomu ziemi z prędkością początkową o wartości \(\displaystyle{ v_0= 10m/s}\), tak aby trafił w cel znajdujący się również na poziomie ziemi w odległości \(\displaystyle{ R = 5m}\) od punktu wystrzelenia pocisku. Wyznasz kąty, pod jakimi można wystrzelić pocisk, aby trafić w cel. (Załóż że przyspieszenie ziemskie jest równe \(\displaystyle{ g = 10m/s^{2}}\) )

Wiem, ze trzeba z rzutu ukosnego to zrobic na zasieg, lecz gubie sie w obliczeniach w trakcie.
Ktoś pomoże?

[lukas1929]

Pocisk ma być wystrzelony z poziomu ziemi z prędkością początkową o wartości \(\displaystyle{ v_0= 10m/s}\), tak aby trafił w cel znajdujący się również na poziomie ziemi w odległości \(\displaystyle{ R = 5m}\) od punktu wystrzelenia pocisku. Wyznasz kąty, pod jakimi można wystrzelić pocisk, aby trafić w cel. (Załóż że przyspieszenie ziemskie jest równe g = \(\displaystyle{ 10m/s^{2}}\) )

Wiem, ze trzeba z rzutu ukosnego to zrobic na zasieg, lecz gubie sie w obliczeniach w trakcie.
Ktoś pomoże?

Rozważamy dwie składowe tej prędkości:



Z \(\displaystyle{ V\sin\alpha}\) można wyliczyć czas, bowiem:

\(\displaystyle{ V\sin\alpha = g \cdot 0.5t}\)

Następnie wyznaczone wyżej \(\displaystyle{ t}\) podstawiasz do związku przemieszczenia poziomego z czasem:

\(\displaystyle{ V\cos\alpha \cdot t = R}\)

czyli po podstawieniu:

\(\displaystyle{ V\cos\alpha \cdot 2V\sin\alpha / g = R}\)

zauważ, że:

\(\displaystyle{ 2\cos\alpha \sin\alpha = \sin2\alpha}\)

czyli:

\(\displaystyle{ \sin2\alpha = \frac{Rg}{V^2}}\)

.

[jujon123]

Doszedlem do tego samego i nie wiem co dalej, bo maja wyjsc 2 wyniki.

[siwymech]

Jeżeli znajdziemy receptę, jak wyznaczyć równanie toru pocisku, to współrzędne punktu \(\displaystyle{ P(R,O)}\) upadku pocisku - powinny spełniac to równanie.
...............................
I.Równanie toru pocisku
1.Wprowadzamy prostokatny układ współrzędnych i rozkładamy podana prędkość początkową \(\displaystyle{ v _{o}}\) na dwie składowe: poziomą \(\displaystyle{ v _{ox}=v _{o} \cdot \cos \alpha }}\) i pionową \(\displaystyle{ v _{oy}=v _{o} \cdot \sin \alpha }}\).
Ruch pocisku można uważać za wypadkowy dwóch ruchów: jednostajnie prostolioniowego w kierunku poziomym z prędkością \(\displaystyle{ v _{ox}}\) oraz rzutu w górę z prędkością \(\displaystyle{ v _{oy}}\).

2. Po upływie czasu \(\displaystyle{ t}\) drogi przebyte przez pocisk w kierunku osi \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) wynoszą:
.........................................................
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=v _{o} \cdot \cos \alpha \cdot t }\quad,(1)\\y=v _{o} \cdot \sin \alpha \cdot t- \frac{gt ^{2} }{2} }\quad, (2)\end{cases}}\)
........................................................
2.1. Wyznaczamy parametr czasu \(\displaystyle{ t}\) z równania (1) i wstawiamy do rownania(2) otrzymując równanie toru pocisku
\(\displaystyle{ y= x \cdot \tg \alpha -\frac{g \cdot x ^{2} }{2v _{o} ^{2} \cdot \cos ^{2} \alpha }}\), (3)
/Jest to równanie paraboli, która przecina oś \(\displaystyle{ y}\) w punkcie O.- poczatek układu współrz./
Podstawiając w rów. (3) tożsamość trygonometryczną
\(\displaystyle{ \frac{1}{\cos ^{2} \alpha } =1+\tg ^{2} \alpha}\),
otrzymamy równanie kwadratowe
----------------------------------------------------------------------------
\(\displaystyle{ gx ^{2} \tg ^{2} \alpha -2 v ^{2} _{o}x\tg \alpha +g x ^{2}+2 \ v _{o} ^{2}y=0}\), (4)
---------------------------------------------------
3.WSpółrzędne upadku pocisku- punktu \(\displaystyle{ P(R,0)}\) muszą spełniać równanie (4).
Wstawiamy więc w równaniu (4) współrzędną \(\displaystyle{ x=R=5}\) i współrz. \(\displaystyle{ y=0}\)
4. Rozwiązujemy równanie kwadratowe względem \(\displaystyle{ \tg \alpha}\), które ma dwa pierwiastki rzeczywiste, którym bedą odpowiadać dwa kąty różne.
.................................
/Należy mieć na uwadze, że w rozważaniach nie uwzględniamy oporu powietrza!/

[kruszewski]

Doszedlem do tego samego i nie wiem co dalej, bo maja wyjsc 2 wyniki.

Wynika to z okresowości funkkcji sinus kąta i jego dziedziny wynikającej z warunków strzelania. Kąt podniesienia nie może być mniejszy niż \(\displaystyle{ 0^o}\) i większy niż \(\displaystyle{ 90^o}\) .
A równanie kwadratowe z kwadratem tangensa kąta warte jest rozwiązania. Proszę podjąć taką próbę.