Matematyka.pl

Z wysokosci \(\displaystyle{ h}\) rzucono ciało w kierunku poziomym. Jaką szybkość należy nadać temu ciału, aby uderzyło w ziemie pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\)? Przyspieszenie ziemskie wynosi g.

Przedstawiam moje rozwiązanie, na początek rysunek zdjecie:
równania ruchu:
\(\displaystyle{ x(t)=v_{0}t}\)
\(\displaystyle{ y(t)=h-\frac{1}{2}gt^{2}}\)

równanie toru:
\(\displaystyle{ y(x)=h-\frac{1}{2v_{0}^{2}}g\cdot x^{2}}\)

pochodna:
\(\displaystyle{ y'(x)=-\frac{g}{v_{0}^{2}}\cdot x}\)

teraz obliczam czas spadania \(\displaystyle{ t_{s}}\)
\(\displaystyle{ 0=h-\frac{1}{2}g\cdot t_{s}^{2}}\) stąd \(\displaystyle{ t_{s}=\sqrt{\frac{2h}{g}}}\)

droga przebyta w czasie \(\displaystyle{ t_{s}}\) \(\displaystyle{ s=v_{0}\sqrt{\frac{2h}{g}}}\)

Pochodna w momencie uderzenia
\(\displaystyle{ y'(s)=-\frac{\sqrt{2hg}}{v_{0}}=\tg\beta=\tg(\pi-\beta)=-tg\alpha}\)

ostatecznie
\(\displaystyle{ v_{0}=\frac{\sqrt{2hg}}{\tg\alpha}}\)

Czy to rozwiązanie jest poprawne? Coś powinienem poprawić?

Niepotrzebne to wszystko wystarczy skorzystać z tw. Pitagorasa \(\displaystyle{ v= \sqrt{v_o^2 + 2gh}}\) , a kąty zwykle zaznacza się pomiędzy wektorem prędkości końcowej a poziomem. Potem wystarczy napisać wzór na jakąś funkcję trygonometryczną i jeśli wybierzesz tangensa, to nawet Pitagoras ci odpadnie

\(\displaystyle{ h - gt^2 /2 = 0}\)

\(\displaystyle{ t = \sqrt{2h/g}}\)

\(\displaystyle{ v_y = gt = \sqrt{2hg}}\)

\(\displaystyle{ tg \alpha = \sqrt{2hg}/v_0}\)

\(\displaystyle{ v_0 = \frac{ \sqrt{2hg}}{tg \alpha}}\)

Tak więc jeśli chodzi o samą odpowiedź to wydaje się prawidłowa.

.