Matematyka.pl

Z jakim najmniejszym przyspieszeniem (równoległym do podstawy równi) powinna poruszać się
równia pochyła o kącie nachylenia \(\displaystyle{ \alpha}\) aby leżące na niej ciało wznosiło się po powierzchni
równi? współczynnik tarcia miedzy ciałem a równia jest rowny \(\displaystyle{ \mu}\), przyspieszenie ziemskie \(\displaystyle{ g}\)

Narazie tylko rozrysowałem istotne (wg. mnie) siły - zdjęcie:
Jak napisać jakieś równanie, podobno w układach nieinercjalnych jakim jest równia nie działa II ZDN

-- 10 lis 2017, o 20:18 --

Przedstawiam moje rozwiązanie.

Siła wypadkowa działająca na ciało znajdujące sie na równi \(\displaystyle{ F = F_{bx} - Q_{x} - T}\)

\(\displaystyle{ F_{b}}\) jest równoległa do przyspieszenia równi \(\displaystyle{ a}\) ale o przeciwnym zwrocie
jej składowe to \(\displaystyle{ F_{bx} = F_{b}\cos \alpha}\) i \(\displaystyle{ F_{by} = F_{b}\sin \alpha}\) (zwieksza siłe nacisku czyli też tarcie)

\(\displaystyle{ Q_{x} = mg\sin \alpha}\) oraz \(\displaystyle{ T = N\cdot\mu = (F_{b}\sin \alpha + mg\cos \alpha)\cdot\mu}\)

siła bezwładnosci \(\displaystyle{ F_{b} = -a\cdot m}\)

\(\displaystyle{ a = \frac{F}{m} = \frac{F_{b}\cos \alpha-mg\sin \alpha-mg\cos \alpha\mu-F_{b}\sin \alpha\mu}{m}}\)

co po przekształceniach daje \(\displaystyle{ a = \frac{-g(\sin \alpha+\cos \alpha\mu)}{1+\cos \alpha+\sin \alpha\mu}}\)

Co o tym uważacie? i równanie \(\displaystyle{ a = \frac{F}{m}}\) zrobiłem troche bez zrozumienia bo kiedy mozna stosowac II zasade dynamiki w układzie nieinercjalnym?

Na początku rozpatrz przypadek szczególny- sytuację uproszczoną, gdy równia spoczywa lub porusza się ruchem jednostajnym \(\displaystyle{ (a =0).}\)

Następnie przeanalizuj sytuację, gdy ciało spoczywa względem równi, a sama równia porusza się ruchem jednostajnie przyśpieszonym i wyznacz wartość przyspieszenia granicznego \(\displaystyle{ a_{0}.}\)

Na końcu oblicz wartość przyśpieszenia \(\displaystyle{ a_{2}> a_{0}}\), przy którym klocek zacznie się przesuwać do góry równi.

Zapisz równanie wektorowe sił działających na ciało i rzutuj je na kierunki wzdłuż równi i do niej prostopadły.-- 10 lis 2017, o 21:12 --\(\displaystyle{ m \cdot \vec{g} + \vec{N} +\vec{F} = m\cdot \vec{a_{2}}.}\)

\(\displaystyle{ m\cdot g \cdot \sin(\alpha) +\mu\cdot N =m\cdot a_{2}\cdot \cos(\alpha)}\)

\(\displaystyle{ N - m\cdot g \cos(\alpha) = m\cdot a_{2}\cdot \sin(\alpha).}\)

\(\displaystyle{ a_{2} = g\cdot \frac{\sin(\alpha) +\mu\cdot \cos(\alpha)}{\cos(\alpha) - \mu\sin(\alpha)}.}\)

Jeśli przyśpieszenie równi \(\displaystyle{ a> a_{2}}\) to ciało wznosi się po równi.

Zauważmy, że \(\displaystyle{ a_{2}}\) dla \(\displaystyle{ \mu = \ctg(\alpha)}\) dąży do nieskończoności.

Oznacza to, że gdy \(\displaystyle{ \mu \geq \ctg(\alpha),}\) dla żadnej wartości przyśpieszenia ciało nie będzie poruszać się w górę.

Dzięki, chyba rozumiem - licze przyspieszenie klocka względem podłoża i jesli jest ono mniejsze niż przyspieszenie równi względem podłoża to klocek porusza się w góre. Mam jeszcze pytanie - licząć przyspieszenie klocka i uwzględniając tarcie skąd wiem jaki ma ono zwrot? przecież zalezy to czy bedzie poruszać się w góre czy dół równi.

Zatem wycofuję swój list.

Do P. Kruszewskiego

Nie zgadzam się z Pańską uwagą jakoby nie było jednoznaczności w moich oznaczeniach - standardowych, dotyczących sił działających na ciało znajdujące się na równi.

-siła ciężkości \(\displaystyle{ m\cdot \vec{g};}\)

-siła reakcji równi \(\displaystyle{ \vec{N}}\)

- siła tarcia \(\displaystyle{ \vec{F}.}\)

- wypadkowa tych sił \(\displaystyle{ m\cdot \vec{a_{2}}.}\)

\(\displaystyle{ m\cdot \vec{g}, \ \ m\cdot \vec{a_{2}}}\) są to dwa różne wektory.

Może i racja.
Mam wrażenie, że na masę klocka działają trzy siły: jego ciężaru, bezwładności i tarcia o równię.
Czyli : \(\displaystyle{ m \cdot \vec{g}}\); \(\displaystyle{ m \cdot \vec{a} _2}\); i wg Pana oznaczeń \(\displaystyle{ \vec{F} = (\mu \cdot \vec{N})}\)

W różność wektorów nie wątpię.

Drugi sposób

Przyjmujemy układ odniesienia związany z podłożem równi pochyłej.

Aby klocek mógł poruszać się do góry - siła "wciągająca" \(\displaystyle{ \vec{ F_{s}}}\) będąca składową siły bezwładności \(\displaystyle{ \vec{ F_{b}}}\) musi zrównoważyć siłę tarcia \(\displaystyle{ \vec{ F}}\) i składową "zsuwającą" \(\displaystyle{ \vec{Q_{s}}}\), pochodzącą od ciężaru \(\displaystyle{ \vec{Q}.}\).

Z warunku równowagi:

\(\displaystyle{ \vec{F_{s}} = \vec{Q_{s}}+ \vec{F}}\) (1)

\(\displaystyle{ F_{s} = F_{b}\cos(\alpha) = m\cdot a_{2}\cos(\alpha).}\)

\(\displaystyle{ Q_{s}= Q\cdot \sin(\alpha) = m\cdot g\cdot \sin(\alpha).}\)

\(\displaystyle{ F = \mu\cdot (Q_{n} +F_{n}) = \mu\cdot [m\cdot g \cos(\alpha) + m\cdot a_{2}\cdot \sin(\alpha)].}\)

Po podstawieniu do równania (1)

\(\displaystyle{ m\cdot a_{2}\cos(\alpha) = m\cdot g \cdot \sin(\alpha)+ \mu\cdot(m\cdot g \cos(\alpha)+m\cdot a \cdot \sin(\alpha))}\)

\(\displaystyle{ m\cdot a_{2}\cos(\alpha)= m\cdot g \cdot \sin(\alpha)+\mu\cdot m \cdot g\cdot \cos(\alpha)+\mu\cdot m \cdot a_{2}\cdot \sin(\alpha)}\)

\(\displaystyle{ m\cdot a_{2}\cos(\alpha) - \mu\cdot m \cdot a_{2}\sin(\alpha)= m\cdot g \sin(\alpha) +\mu\cdot g \cdot \cos(\alpha)}\)

\(\displaystyle{ m\cdot a_{2}\cdot [ \cos(\alpha) - \mu\cdot \sin(\alpha)]= m\cdot g\cdot[\sin(\alpha) +\mu \cdot \cos(\alpha)]}\)

\(\displaystyle{ a_{2}= g\cdot \frac{\sin(\alpha)+ \mu\cdot \cos(\alpha)}{\cos(\alpha) - \mu\cdot \sin(\alpha)}.}\)

\(\displaystyle{ a_{2}= g\cdot \frac{\tg(\alpha)+ \mu}{1 - \mu\cdot \tg(\alpha)}.}\)

I o to co zapisano w równaniu (1) chodziło, \(\displaystyle{ \vec{N}}\) nie wchodzi do tego równania. że co jest równoważne nierówności zapisanej wektorowo:
\(\displaystyle{ \vec{B} + \vec{Q}+ \vec{F} \ge 0}\),



Zastępując w pierwszym kroku wektory \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ G}\) wektorem wypadkowym \(\displaystyle{ W}\) (kreślenie niebieskim krzyżykiem), a w drugim rozkładamy (skreślony po rozłożeniu) wektor \(\displaystyle{ W}\) na składowe \(\displaystyle{ \vec{S}}\) i \(\displaystyle{ \vec{N}}\) o kierunkach odpowienio stycznym i normanym do równi, zauważamy, że są one przetransformowaną sumą wektorów \(\displaystyle{ \vec{B}}\) i \(\displaystyle{ \vec{Q}}\) na owe kierunki. Znając kąt tarcia \(\displaystyle{ \varphi}\) wyznaczamy moduł wektora siły tarcia \(\displaystyle{ F}\) , (F, bo frictio - tarcie).

Z wyrazami szacunku,
W.Kr.

Dziękuję za eleganckie zobrazowanie zadania.