Matematyka.pl

"Wykorzystując z zasadę wariacyjną, wyprowadź równania Eulera-Lagrange’a
dla funkcji Lagrange’a \(\displaystyle{ L \left( q _{i}, \frac{dq _{i} }{dt},... , \frac{d ^{n}q _{i} }{dt ^{n} } \right)}\)"

Prosiłbym o jakieś wskazówki:)

Czyżby chodziło o to równanie?

Nie o to się tutaj rozchodzi. W tym linku jest wyprowadzenie równań dla \(\displaystyle{ L(q, \frac{dq}{dt})}\). A moim zadanie jest rozpatrzenie problemu dla n-tej pochodnej

Coś takiego:
Za E.T. Whittaker, Dynamika analityczna, PWN W-wa 1959, strona 304:
" Niech\(\displaystyle{ L(t, y, y', y'',..., y^{(m)}, z, z', z'' ,..., z^{(m)} )}\) bęzie funkcją zmiennej niezależnej \(\displaystyle{ t}\), zmiennych zależnych \(\displaystyle{ y,z}\) i ich pochodnych aż do rzędu m i n odpowiednio.
Warunkiem na to , by całka \(\displaystyle{ \int_{}^{} L(t, y, y',..., y^{(m)}, z, z', ..., z^{(m)} )dt}\) była stacjonarna, można, przy pomocy postępowania zwykle stosowanego w rachunku wariacyjnym, napisać w postaci
\(\displaystyle{ 0= \frac{ \partial L}{ \partial y} - \frac{d}{dt} \left( \frac{ \partial L}{ \partial y'} \right) + ... +(-1)^m \frac{d^m}{dt^m} \left( \frac{ \partial L}{ \partial y^{(m)}} \right)}\) , "
I podobne równanie dla zmiennej z .

Istotną informacją dla Kolegi może być treść odnośnika na tej stronie do zdania:

"Wykażemy teraz,, że wszystkie równania różniczkowe, wynikające z zgadnienia rachunku wariacyjnego, z jedną zmienną niezależną, dają się wyrazić w postacj Hamiltona (1)
(1) Patrz Ostrogradski, Mem, de l`Acad. de St.-Pet. . VI (1985), srt. 385. "

kruszewski pisze: przy pomocy postępowania zwykle stosowanego w rachunku wariacyjnym

Zdaje się, że właśnie o to postępowanie się tu rozchodzi Pamiętam, że to robiłem jakieś milion lat temu, ale niestety stosowne notatki tego czasu nie przetrwały. Ja bym zrobił tak: rozpatrzył prostszą sytuację, kiedy lagranżjan jest postaci \(\displaystyle{ L=L(x,x',x'')}\). Wziąłbym jakąś książkę w której jest wyprowadzenie dla lagranżjanu pierwszego rzędu (np. Mechanika klasyczna Taylora) i starał się naśladować w tej nowej sytuacji. Jak się powiedzie to uogólnić na pochodną dowolnego rzędu.

W cytowanej książce jest dalsze rozwinięcie, ale przepisywać na darmo jak nie o to chodzi to trud za wielki dla mnie. Ale zaglądnięcie do Ostrogadskiego jest ciekawe. Nie zaglądałem tam, nie było potrzeby. Znam problem pobieżnie cienko.

Ok, wychodzi to w prosty sposób przez indukcje, trzeba tylko n-krotnie zcałkować przez części n-ty składnik różnicy wartości funkcji Lagrange'a w tych samych chwilach czasu