Matematyka.pl

Na pudełko o masie \(\displaystyle{ m = 1kg}\)działa zmienna w czasie siła \(\displaystyle{ F_(t) = 2[N/s]t}\). Prędkość i położenie początkowe pudełka wynoszą odpowiednio \(\displaystyle{ v_0 = 2m/s}\) i \(\displaystyle{ x_0 = 2m}\). Jakie będzie przyśpieszenie, prędkość i położenie pudełka po czasie \(\displaystyle{ T=2s}\)?

Z drugiej zasady dynamiki:

\(\displaystyle{ m \ddot{x} (t) = F(t)}\), gdzie \(\displaystyle{ \ddot{x} (t)}\) to oczywiście przyspieszenie, zatem \(\displaystyle{ \ddot{x} (2) = \frac{1}{m} F(2)}\)

Aby wyznaczyć prędkość i położenie trzeba całkować to równanie i potem do rozwiązania wstawić \(\displaystyle{ t=2}\). Oczywiście przy rozwiązywaniu równania różniczkowego drugiego rzędu potrzebne są dwa warunki początkowe, ale są one dane w zadaniu jako \(\displaystyle{ x_0}\) oraz \(\displaystyle{ v_0}\), więc równanie da się rozwiązać bez większych problemów.

Czy da się bez równań różniczkowych (a konkretnie to całkowania stronami, tyle wystarczy) rozwiązać to zadanie to nie wiem.

Nie bardzo umiem to zrobić ;/ nie miałem w życiu całek itp itd a wymagają na cwiczeniach... na matmie dopiero na kolejnym semstrze... mogę prosić o dalszą pomoc?

A znasz że szkoły wzory na drogę prędkość w ruchu jednostajnie przyspieszonym?

Uwagi kolegi NogaWęża są badzo słuszne, bowiem zadanie choć z punktu widzenia zasad dynamiki jest proste to z matematycznego już nie.
A ta całka jest trochę trudniejsza do rozwiązania niż poprzednia.
Zadawanie zadań wymagających użycia nie znanej dotychczas części matematyki mija się z celem.

kruszewski pisze: stąd \(\displaystyle{ v= \int_{}^{} \frac{2}{m}t dt = \frac{m}{2} ln|t| +C_1}\)

Coś przekombinowane, to całka z funkcji liniowej przecie

Fakt. Ale przy takim zapisie : \(\displaystyle{ 2[N/s]t}\) większość czytających byłaby bez szans

Dżizas xD rachunek od II semestru na matmie a tutaj na dzien dobry z fizy na I... xD

No tak to wygląda i niestety niewiele da się z tym zrobić. Na wydziale fizyki UW był pomysł by na I semestrze wykładać tylko matematykę, ale prawdopodobnie skończyłoby się to buntem dekady. Pewnie i tak głównie ze strony osób które do 2 roku nie dotrwają, no ale...

AiDi pisze:

kruszewski pisze: stąd \(\displaystyle{ v= \int_{}^{} \frac{2}{m}t dt = \frac{m}{2} ln|t| +C_1}\)

Coś przekombinowane, to całka z funkcji liniowej przecie

Oczywista!
I już się poprawiam:
\(\displaystyle{ F=2t}\), zatem przyspieszenie \(\displaystyle{ a= \frac{F}{m}= \frac{2}{ m}t}\)
prędkość jaką masa m osiągnie w chwili czasu t opisuje równanie różniczkowe:
\(\displaystyle{ dv= a dt,}\)
po scałkowaniu ma postać:
\(\displaystyle{ v = \frac{2}{m} \int_{}^{} t dt= \frac{2}{m} \frac{1}{2} t^2 +C_1}\)
Podobnie droga:
\(\displaystyle{ s= \frac{1}{m} \int_{}^{} t^2 dt + \int_{}^{} C_1dt = \frac{1}{m} \cdot \frac{1}{3} t^3 + C_1t +C_2}\)
Stałe całkowania to:
\(\displaystyle{ C_1=2}\) , bo , \(\displaystyle{ v_{(t=0)}= 2 \ \frac{m}{s}}\)

oraz \(\displaystyle{ C_2= 2 \ m}\) , bo w chwili \(\displaystyle{ t=0}\), \(\displaystyle{ s_{(t=0)} = 2 \ m}\)

Równania ruchu są więc następujące:
\(\displaystyle{ v= \frac{1}{m} t^2 +2}\)
\(\displaystyle{ s =\frac{1}{3m} t^3 +2t+2}\)

Dziękuję Panu AiDi za zwrócenie uwagi na mój błąd.

więc jego obecne położenie to \(\displaystyle{ x_1 = 8,87 m}\) ?

entomonolog pisze:więc jego obecne położenie to \(\displaystyle{ x_1 = 8,87 m}\) ?

\(\displaystyle{ x \approx 8,67}\) m

tak sory literówka.
Dzięki