Matematyka.pl

Witam, mam pytanie jak określić ruch po linii śrubowej za pomocą równań parametrycznych mając dane prędkość kątową \(\displaystyle{ \omega}\) , skok śruby \(\displaystyle{ b}\) oraz promień \(\displaystyle{ r}\).
Myślę, że dwa równania powinny być takie:
\(\displaystyle{ x(t)=r\cos (\omega t)\\
y(t)=r\sin (\omega t)}\)
I trzecie z uwzględnieniem skoku, ale nie wiem jak by mogło wyglądać.
Proszę o pomoc.

W czasie, w którym ciało zakreśla okrąg, czyli \(\displaystyle{ T=\frac{2\pi}{\omega}}\), pokonuje wzdłuż osi \(\displaystyle{ OZ}\) drogę \(\displaystyle{ b}\). Stąd mamy \(\displaystyle{ v_z=\frac{b}{T}}\). Dalej równanie parametryczne wzdłuż ostatniej osi \(\displaystyle{ z(t)=v_zt}\).

Rozumiem, dziękuje za pomoc. Mam jeszcze pytania do dwóch podpunktów w tym zadaniu.
Jak policzyć moduł prędkości w tym ruchu? Czy jest to pierwiastek z sumy kwadratu prędkości kątowej I kwadratu prędkości liniowej po osi z?
Oraz jak policzyć drogę przebytą przez jeden okres w tym ruchu?

Intech pisze: Jak policzyć moduł prędkości w tym ruchu? Czy jest to pierwiastek z sumy kwadratu prędkości kątowej I kwadratu prędkości liniowej po osi z?

Nie, przecież prędkość kątowa i liniowa są różnymi wielkościami fizycznymi, nie można ich (ani ich kwadratów) dodawać. Obliczasz sobie \(\displaystyle{ v_x(t)=x'(t), v_y(t)=y'(t)}\). Wartość prędkości będzie wtedy równa: \(\displaystyle{ ||\vec{v}||=\sqrt{v^2_x+v^2_y+v^2_z}}\).

Oraz jak policzyć drogę przebytą przez jeden okres w tym ruchu?

Droga to całka z wartości prędkości:
\(\displaystyle{ s=\int_0^T||\vec{v}||\textsf{d}t}\).