Matematyka.pl

Obl siłę wypadkową \(\displaystyle{ F_{1} = 3m, F_{2} = 5m, \alpha=30^\circ}\)
Mam trudność obliczyć to przez te \(\displaystyle{ 30^\circ}\)

Jeżeli podałeś kąt miedzy siłami to wartość wektora sumy to:
\(\displaystyle{ \left| F_1+F_2\right|= \sqrt{(F_1+F_2\cos \alpha )^2+(F_2\sin \alpha)^2}}\)


Edit:
Powyższy wzór jest równoważny ze wzorem z postu pana Siwymech gdyż:
\(\displaystyle{ \left| F_1+F_2\right|= \sqrt{(F_1+F_2\cos \alpha )^2+(F_2\sin \alpha)^2}=\\
= \sqrt{F_1^2+2F_1F_2\cos \alpha+F_2^2\cos^2 \alpha +F_2^2\sin^2 \alpha}=
\sqrt{F_1^2+2F_1F_2\cos \alpha+F_2^2}}\)

Wypadkowa sił(wektor) ma cechy które należy określić:
wartość, kierunek, zwrot i punkt zaczepienia
..........................................................................................
I.Metoda wykreślna [ niezbędne przyjęcie skali sił]- dwa sposoby;równoległoboku i wieloboku.
1. Metoda równoległoboku- Patrz rys.
Tw. o równoległoboku sił:
Wypadkowa dwóch sił przyłożonych w jednym punkcie równa jest przekątnej równoległoboku zbudowanego na odcinkach wyobrażających siły dane.
Kreślenie
Z dowolnego punktu O kreślimy dane siły( w skali) zgodnie z kierunkiem wartością i zwrotem, a następnie z końca siły \(\displaystyle{ F _{1}}\) - linie pomocniczą równoległą do siły \(\displaystyle{ F _{2}}\), a z końca siły \(\displaystyle{ F _{2}}\)- równoległą do siły \(\displaystyle{ F _{1}}\).
Łącząc punkt przecięcia linii pomocniczych z punktem wyjściowym O otrzymujemy wektor wypadkowy W.
Mierzymy wektor \(\displaystyle{ \vec{W}}\)mnożymy przez przyjętą skalę sił i otrz. wielkość rzeczywistą,
- kierunek- należy zmierzyć kąt \(\displaystyle{ \vec{W}}\)\(\displaystyle{ }\) z poziomem, pionem.
/Metodę równoległoboku można zastąpić konstrukcją wieloboku sił(trójkąta sił)
2. Konstrukcja wieloboku sił/ Rys. drugi z prawej/
-przyjmujemy skalę sił,
-z dowolnie przyjętego punktu( na rys.punkt O) rysujemy siłę \(\displaystyle{ F _{1}}\) zgodnie z kierunkiem, wartością w skali i zwrotem,
- do końca siły pierwszej dodajemy siłę \(\displaystyle{ F _{2}}\) zgodnie z kierunkiem , wartością i zwrotem,
- łącząc początek pierwszej siły z końcem ostatniej ( \(\displaystyle{ F _{2}}\)) otrzymujemy wartość siły wypadkowej \(\displaystyle{ W}\):
\(\displaystyle{ \vec{W}=\vec{F _{1}}+ \vec{F_{2}}}\)
-mierzymy wektor \(\displaystyle{ }\) \(\displaystyle{ \vec{W}}\)\(\displaystyle{ }\)mnożymy przez przyjętą skalę sił i otrz. wielkość rzeczywistą,
- kierunek- należy zmierzyć kąt \(\displaystyle{ \vec{W}}\)\(\displaystyle{ }\) z poziomem, pionem.
II. Metoda rachunkowa-geometryczna
Rozwiązujemy trójkąt dowolny- boki wieloboku to siły!
Wykorzystamy do znalezienia wartości siły wypadkowej \(\displaystyle{ W}\) tw. cosinusów( Carnota):
\(\displaystyle{ W ^{2}= {F ^{2} _{1}+F _{2} ^{2} -2F _{1} \cdot F _{2} \cdot \cos \gamma }}\), (1)
\(\displaystyle{ \gamma=180- \alpha}\), (2)
\(\displaystyle{ \cos\gamma=\cos(180- \alpha )=- \cos \alpha}\), (3)
Ostatecznie otrzymujemy receptę na wartośc siły wypadkowej:
\(\displaystyle{ W= \sqrt{{F ^{2} _{1}+F _{2} ^{2} +2F _{1} \cdot F _{2} \cdot \cos \ \alpha }}}\)
Kierunek siły wypadkowej znajdziemy z tw. sinusów:
\(\displaystyle{ \frac{F _{2} }{\sin \beta } =\frac{W}{\sin\gamma} }}\)
lub po przekształceniach z wykorzyst. wzoru redukcyjnego:
\(\displaystyle{ \sin \beta = \frac{F _{2} \cdot \sin \alpha }{W}}\)
..........................................
III.Metoda oparta na tw. o sumie rzutów.
Rzut sumy jest równy sumie rzutów na te sama oś.
- wprowadzić prostokatny układ współrzędnych
- obliczyć sumę rzutów sił na obie osie tj. x i y.
-wartość siły wypadkowej
\(\displaystyle{ W= \sqrt{W ^{2} _{x}+W ^{2} _{y} }}\),
- kierunek W z osią współrz.x:
\(\displaystyle{ \ cos \beta = \frac{W _{x} }{W}}\)
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
Powodzenia