Cialo zsuwajace sie z polkuli

[zjm2014]

Zadanie to nie wychodzi mi i nie ogarniam dlaczego ,mam nadzieje ze ktos dostrzeze moj blad.

Tresc :
Niewielkie ciało ześlizguje się bez tarcia z powierzchni półkuli o promieniu R . Na jakiej
wysokości ciało oderwie się od niej?

Trojkat sil zlozony jest z sily dosrodkowej,sily ciezkosci i sily powodujaca ruch.
Kat \(\displaystyle{ \alpha}\) to kat miedzy sila dosrodkowa a sila ciezkosci.

Z zasady zachowania energii i z tego ze sila nadajaca powodujaca ruch musi zrownowazyc sile dosrodkowa by cialo odpadlo z polkuli mam uklad rownan :

Oznaczenia : h - wysokosc na jakiej cialo sie oderwie,r - promien polkuli

\(\displaystyle{ \begin{cases} m \cdot v^{2}/r = mg \cdot sin \alpha \\ 2(mgr - mgh) = mv^{2} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} v^{2}/(r \cdot g) = sin \alpha \\ v^{2} = 2gr \cdot (1-h/r) \end{cases}}\)

Tutaj utknalem. Po podstawieniu za \(\displaystyle{ h/r}\) \(\displaystyle{ cos \alpha}\) i przyrownaniu \(\displaystyle{ v^{2}}\) z obu rownan ukladu mam rownanie :
\(\displaystyle{ 2 = sin \alpha + 2 cos \alpha}\)
Nie wiem jak to rozwiazac i co z tym dalej robic
Jakies sugestie?

Poprawna odpowiedzia do tego zadania jest \(\displaystyle{ h = 2/3r}\)

[siwymech]

Kod: Zaznacz cały

https://imageshack.com/i/0bkulkazkulij

Wykorzystamy zasadę równoważności energii.
Energia kinetyczna Ek, którą nabywa kulka odbywa się kosztem spadku energii potencjalnej- wysokości -Ep.
(1) \(\displaystyle{ E _{p}=E _{k}}\)
..............................................
Niezbędne znalezienie prędkości spadajacej kulki
1.Na kulkę działa siła ciężkości G=mg oraz siła reakcji N
2. Równanie wynikające z II zasady Newtona.
(2)\(\displaystyle{ -N +m \cdot g \cdot \cos \alpha =m \cdot a}\)
4.Uwzględniajac przyspieszenie normalne
(3) \(\displaystyle{ -N +m \cdot g \cdot \cos \alpha =m \cdot \frac{\upsilon _{o} ^{2} }{R}}\)
5. Kulka zacznie swobodnie spadać gdy reakcja nacisku N=0, czyli:
(4) \(\displaystyle{ m \cdot g \cdot cos \alpha =m \cdot \frac{\upsilon _{o} ^{2} }{R}}\)
6.Początkowa prędkość kulki
(5) \(\displaystyle{ \upsilon _{o}= \sqrt{R \cdot g \cdot \cos \alpha }}\)
7.Wyznaczymy\(\displaystyle{ }\) \(\displaystyle{ \cos \alpha}\)
(6)\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{h}{R}}\)
I wtedy predkość;
(7) \(\displaystyle{ \upsilon _{0} = \sqrt{g \cdot h}}\)
................................................
9.Pozostaje wyznaczyć wysokość spadania h.
Wykorzystamy zasadę równoważności energii.
\(\displaystyle{ E _{p}=E _{k}}\)
9. Energia potencjalna kulki Ep w jej najwyższym położeniu tj. w odległości od podłoża 2R;
(8)\(\displaystyle{ E _{p} = m \cdot g \cdot 2R}\)
10.Energia potencjalna kulki na wysokości h +R
(9)\(\displaystyle{ E _{p} = m \cdot g \cdot(h+ R)}\)
11. Energia kinetyczna Ek kulki
(10) \(\displaystyle{ E _{k}= \frac{m \cdot \upsilon ^{2} }{2}}\)
(11) \(\displaystyle{ m \cdot g \cdot 2R= m \cdot g \cdot(h+ R) +\frac{m \cdot \upsilon ^{2} }{2}}\)
Z rów.(11) znajdujemy szukane h
(12) \(\displaystyle{ h= \frac{2 \cdot R}{3}}\)
......................................

Pytają często w tym typie zad.o odległość!
15.Odległość upadku kulki x+x1 policzymy z zasięgu rzutu ukośnego.

[daras170]

Przepraszam, że się wtrącam ale do rozwiązywania typowych problemów najlepiej użyć wyszukiwarki. Temat standardowy więc i rozwiązań bez liku, np po wejściu w tutejsze archiwa wyskoczyłoby to:
375850.htm

[zjm2014]

Bardzo panu dziekuje za tak szczegolowe rozwiazanie.

Mam tylko pytanie - dlaczego \(\displaystyle{ m * g * cos \alpha}\) a nie \(\displaystyle{ m * g * sin \alpha}\)?

Prosze mi wybaczyc jezeli to pytanie nie jest na odpowiednim poziomie merytorycznym ale na prawde nie wiem dlaczego opisujac sile nadajaca ruch kulce (tak mysle) uzyl pan wlasnie kosinusa zamiast sinusa.

Mi wychodzi ze w trojkacie zlozonym z sily dosrodkowej,ciezkosci i nadajacej ruch kulce
cosinus kata miedzy sila dosrodkowa a ciezkosci to stosunek sily dosrodkowej do ciezkosci

Odpowiednio w trojkacie zlozonym z sil reakcji,nadajacej ruch i ciezkosci cosinus kata miedzy
sila reakcji i ciezkosci to : sila reakcji do sily ciezkosci.

W sumie to pewnie uzycie zlej funkcji trygonometrycznej jest powodem bledu w pierwszym poscie ale nie moge dostrzec tego bledu


daras170 - oczywiscie masz racje ale tego sinusa nie ogarniam (nie wiem czemu powinien byc cosinus zamiast sinusa - dlatego postanowilem napisac)

[siwymech]

2. Równanie wynikające z II zasady Newtona.
(2)\(\displaystyle{ -N +m \cdot g \cdot \cos \alpha =m \cdot a}\)
Rzutujemy wszystkie siły na oś ("pionową"- na kierunek reakcji normalnej N).
Na tym kierunku(osi) działa przyśpieszenie dośrodkowe!
Oś ta jest prostopadła do kierunku, na którym leży wektor prędkości v.
------------------------------------------------
1.Wyjaśniam Panu pojęcie funkcji tryg. kąta ostrego w trój. prostokątnym
\(\displaystyle{ }\) \(\displaystyle{ cos \alpha}\) ;
Stosunek przyprostokątnej (\(\displaystyle{ G _{N}}\))leżącej przy kącie \(\displaystyle{ \alpha}\) \(\displaystyle{ }\) do przeciwprostokątnej- \(\displaystyle{ G=mg}\)
\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{G _{N} }{G}}\)
2.Rzut siły ciężkości;
Siła ciężkości G
\(\displaystyle{ G=mg}\)
Składowa siła cieżkości zrzutowana na "oś pionową"
\(\displaystyle{ G _{(N)} =mg \cdot cos \alpha}\)
Rzut siły G na oś związana z wektorem v;
\(\displaystyle{ G _{(v)} =mg \cdot cos(90- \alpha) =mg \cdot sin \alpha}\)
------------
Powodzenia w ćwiczeniach.

[zjm2014]

Mysle ze plask powstaly po moim facepalmie byl slyszany w Nowym Targu.

Przyrownywalem sile dosrodkowa do do rzutu sily ciezkosci na os rownolegla do wektora v, stad ten sinus.

Dziekuje za pomoc i cierpliwosc , pana posty swietnie pasuja do cytatu pod nimi , pozdrawiam.