Siła zachowawcza, energia potencjalna

[Wolf]

Czy mogę Was szanownych użytkowników forum prosić o sprawdzenie poniższych zadanek.

Sprawdź czy siła jest zachowawcza. Jeśli tak, oblicz odpowiadającą jej energię potencjalną.

a) \(\displaystyle{ \vec{F} = [ y^{2}, 2xy, 1 ]}\)
b) \(\displaystyle{ \vec{F} = [ x^{2}, xy^{2}, 2x^{2} ]}\)
c) \(\displaystyle{ \vec{F} = [ 2xz^{2} - 2y, -2x-6yz, 2x^{2}z-3y^{2}]}\)

Ad. a

\(\displaystyle{ \frac{ \partial F_{z} }{ \partial y } - \frac{ \partial F_{y} }{ \partial z } = 0 -0 = 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial F_{x} }{ \partial z } - \frac{ \partial F_{z} }{ \partial x } = 0 -0 = 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial F_{y} }{ \partial x } - \frac{ \partial F_{x} }{ \partial y } = 2y - 2y = 0}\)

Siła jest zachowawcza.

\(\displaystyle{ E_{ p_{(x,y,z)} } = - \int_{[0,0,0]}^{[x,y,z]} \vec{ F_{x,y,z} }dr}\)
\(\displaystyle{ E_{ p_{x} } = - \int_{ 0 }^{x_{1}} \ y^{2} dx = - y^{2}x}\)
\(\displaystyle{ E_{ p_{y} } = - \int_{ 0 }^{y_{1}} \ 2xy dy = -xy^{2}}\)
\(\displaystyle{ E_{ p_{z} } = - \int_{ 0 }^{z_{1}} \ 1 dz = -z}\)

\(\displaystyle{ E_{ p_{(x,y,z)} } = (- y^{2}x) + (-xy^{2}) + (-z)}\)

Ad. b

\(\displaystyle{ \frac{ \partial F_{z} }{ \partial y } - \frac{ \partial F_{y} }{ \partial z } = 0 -0 = 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial F_{x} }{ \partial z } - \frac{ \partial F_{z} }{ \partial x } = 0 - 4x}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial F_{y} }{ \partial x } - \frac{ \partial F_{x} }{ \partial y } = y^{2} - 0}\)

Siła nie jest zachowawcza.

Ad. c
\(\displaystyle{ \frac{ \partial F_{z} }{ \partial y } - \frac{ \partial F_{y} }{ \partial z } = -6y - (-6y) = 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial F_{x} }{ \partial z } - \frac{ \partial F_{z} }{ \partial x } = 2x2z - (2z2x) = 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial F_{y} }{ \partial x } - \frac{ \partial F_{x} }{ \partial y } = -2 - (-2) = 0}\)

Siła jest zachowawcza.

\(\displaystyle{ E_{ p_{(x,y,z)} } = - \int_{[0,0,0]}^{[x,y,z]} \vec{ F_{x,y,z} }dr}\)
\(\displaystyle{ E_{ p_{x} } = - \int_{ 0 }^{x_{1}} \ 2xz^{2} - 2y dx = - z^{2}x^{2} - 2yx}\)
\(\displaystyle{ E_{ p_{y} } = - \int_{ 0 }^{y_{1}} \ -2x-6yz dy = 2xy-3zy}\)
\(\displaystyle{ E_{ p_{z} } = - \int_{ 0 }^{z_{1}} \ -2x^{2}z-3y^{2} dz = - x^{2}z^{2} - 3y^{2}z}\)

\(\displaystyle{ E_{ p_{(x,y,z)} } = (z^{2}x^{2} - 2yx) + (2xy-3zy) + (- x^{2}z^{2} - 3y^{2}z)}\)

[pvnrt]

Jeśli wyszedłeś z założenia, że dla siły zachowawczej jest spełnione \(\displaystyle{ \vec{F}=-\nabla E = \left[ -\frac{\partial E}{dx}, -\frac{\partial E}{dy}, -\frac{\partial E}{dz} \right]}\) to jest dobrze, chyba, że masz błąd w pochodnych.

[Wolf]

A czy byłbym ktoś tak uprzejmy i przeliczyłby całki i pochodne. Bowiem wtedy będzie można porównać wyniki i wyciągnąć sensowne wnioski