Bryła zsuwająca się po chropowatej powierzchni.

[ccysio]

Mam typowe, jedno z najłatwiejszych zadań z mechaniki: Bryła o masie m zsuwa się po chropowatej powierzchni nachylonej pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\) do poziomu. Znając współczynnik tarcia μ oraz prędkość początkową \(\displaystyle{ V_{o}}\), obliczyć czas po którym bryła osiągnie prędkość\(\displaystyle{ 2V _{0}}\).

Rozwiązałem to w taki sposób:
\(\displaystyle{ mx"=mgsin\alpha-μmgcos\alpha}\)
\(\displaystyle{ x"=gsin\alpha -μgcos\alpha

x"\cdot t= 2V_{0} \Rightarrow t= \frac{ 2V_{0} }{gsin\alpha -μgcos\alpha}}\)

W podręczniku, autorzy proponują, żeby scałkować \(\displaystyle{ x"}\), wtedy biorąc warunki początkowe \(\displaystyle{ t=0, V=V_{o}}\) obliczamy stałą, otrzymując następujący wynik:
\(\displaystyle{ x'=(gsin\alpha -μgcos\alpha)t+V_{o}}\)

Teraz liczymy czas, wstawiając za \(\displaystyle{ x'}\) nasze \(\displaystyle{ 2V_{o}}\). I okazuje się, że obliczając z tego równania czas otrzymujemy następujący wynik:
\(\displaystyle{ t= \frac{ V_{0} }{gsin\alpha -μgcos\alpha}}\)

Moje pytanie jest następujące: skąd ta różnica? Czy rzeczywiście konieczne jest całkowanie w tym zadaniu? Co zrobiłem nie tak jak należy?-- 31 sty 2015, o 22:03 --Ale wstyd, całki umie, ale wzorów już niekoniecznie. Po jakimś czasie tknęło mnie, żeby wyszukać w internecie frazy "prędkość w ruchu jednostajnie przyspieszonym", co doprowadziło mnie do wzoru:
\(\displaystyle{ a=\frac{Vk-Vp}{t}}\), i podstawiając to do za\(\displaystyle{ x"}\), doszedłem do prawidłowego wyniku, czyli zgodnego z tym w podręczniku. Przepraszam forumowiczów za zamieszanie, i za głupie pytania.

[kruszewski]

Pewnie stąd, bowiem:
\(\displaystyle{ \ddot x=gsin\alpha -μgcos\alpha}\)
\(\displaystyle{ \ddot x\cdot t= \Delta V= V_k - V_o = 2V_o -V_o=V_o}\)