Problem z wyliczeniem. Układanie równań ruchu.

[Teson]

Mam problem z wyliczeniem przesunięcia \(\displaystyle{ x}\)

Zadanie brzmi:

Wyznaczyć prędkość \(\displaystyle{ u}\) wózka \(\displaystyle{ B}\) przedstawionego na rysunku, jeżeli prędkość końca \(\displaystyle{ A}\) liny \(\displaystyle{ ACB}\) przerzuconej przez krążek \(\displaystyle{ C}\) jest \(\displaystyle{ V_{0}=const.}\)

Rysunek przedstawiający to zadanie:


Chciałem dać warunki początkowe, że \(\displaystyle{ B_{0}}\) byłby przy krańcu stołu (z prawej strony), a \(\displaystyle{ A_{0}}\) byłby na równej wysokości co podłoże wózka.
Tak wyglądały moje pewne przemyślenia na temat tego zadania:

Jednak nie do końca wiem jak to ugryźć i czy to wyżej jest dobrym tropem.
Jak wiadomo \(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}x }{ \mbox{d}t}=u}\)
Muszę policzyć przesunięcie \(\displaystyle{ x}\), wtedy ładnie zróżniczkować po czasie i powinno wyjść, że \(\displaystyle{ u= \frac{V_{0}\left( V_{0}t+h\right) }{ \sqrt{\left( V_{0}t+h\right)^{2}-h^{2} } }}\)
Wynik jest poprawny, bo jest podany w książce, jednak chcę wiedzieć jak to wyszło.

[kerajs]

Nie brakuje danych?

Niech dla \(\displaystyle{ t=0}\) odcinek \(\displaystyle{ \left| BC\right| =d}\)
wtedy z Pitagorasa mam
\(\displaystyle{ h^2+x(t)^2=(d-v _{0}t )^2 \\x(t)= \sqrt{(d-v _{0}t )^2-h^2} \\u(t)= \frac{ \mbox{d}x }{ \mbox{d}t} = \frac{2(d-v _{0}t)(- v_{0} )}{2\sqrt{(d-v _{0}t )^2-h^2}} = \frac{v_{0}(v_{0}t-d)}{\sqrt{(d-v _{0}t )^2-h^2}}}\)

Ruch odbywa się dla :
\(\displaystyle{ 0 \le t \le \frac{d-h}{v _{o} }}\)
Dla t końcowego mogę policzyć d
\(\displaystyle{ d=t _{k} v _{0} +h}\)
Wtedy wzór na prędkość może mieć postać:
\(\displaystyle{ u(t)=\frac{v_{0}(v_{0}t-d)}{\sqrt{(d-v _{0}t )^2-h^2}}=\frac{v_{0}(v_{0}(t-t _{k} )-h)}{\sqrt{(h-v _{0}(t-t _{k} ) )^2-h^2}}}\)
co jednak nie przypomina wzoru ksiązkowego.

[Teson]

Spotkałem się z takim oto rozwiązaniem i pasuje logicznie i w odpowiedzi.
Przyda się może kiedyś komuś.
Obrazek sytuacyjny:

Po lewej wózek (na czarno), to mój warunek początkowy, a na zielono sytuacja już po chwili jak przejechał pewien odcinek drogi.
Więc tak:
\(\displaystyle{ s^{2}+h^{2}=\left( h+x\right) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ s^{2}= \left( h+x\right) ^{2} - h^{2}}\)
\(\displaystyle{ s= \sqrt{\left( h+x\right) ^{2}-h^{2}}}\)
Lecz tutaj nasze \(\displaystyle{ x=V_{0}\cdot t,}\) czyli:
\(\displaystyle{ s= \sqrt{\left( h+V_{0}t\right) ^{2}- h^{2}}\)
\(\displaystyle{ u}\) to prędkość wózka, którą musimy obliczyć.
\(\displaystyle{ u= \frac{ \mbox{d}s }{ \mbox{d}t }}\)
I wyjdzie nam ten wynik, który ma wyjść w książce, czyli:
\(\displaystyle{ u= \frac{V_{0}\left( V_{0}t+h\right) }{ \sqrt{\left( V_{0}t+h\right)^{2}-h^{2} } }}\)

[kerajs]

Ale to inne zadanie, gdyż kierunek przemieszczania się liny i wózka jest przeciwny. Ty masz dodatkową daną dzięki temu, że dla t=0 znasz miejsce położenia wózka. Ja jestem jej pozbawiony. Mając tk lub d prędkość w moim rozwiazaniu wyrażona byłaby wyłącznie od wielkości danych w treści zadania

[Teson]

Rozwiązanie tego zadania może wydawać się bardzo dziwne oraz inne w porównaniu z rysunkiem w książce, ale inaczej wg mnie i innych znajomych tego zadania nie da rady ruszyć. Przekątna tego trójkąta musi być wyznaczona przez wysokość \(\displaystyle{ h}\) i coś jeszcze, a tutaj to sensownie wygląda. W zadaniach ogólnie tego typu trzeba założyć warunek \(\displaystyle{ t=0}\) i sobie wyobrazić jak cała sytuacja wygląda przed i po. Mogłem się dziabnąć i to co na zielono to są moje warunki początkowe, a na czarno narysowana sytuacja w \(\displaystyle{ t \neq 0}\)
Dopytam się prowadzącego na zajęciach o to zagadnienie dokładniej, dzięki czemu będzie mam nadzieję jasność co do zadania.