Rzut poziomy z oporem powietrza

[Ziczor]

Mam problem z zadaniem dotyczącym rzutu poziomego. Poziomo wyrzucono kulkę,
Dane mamy: \(\displaystyle{ v_{0}}\) i opór powietrza \(\displaystyle{ R=km \sqrt{v}}\)
Wyznaczyć przebytą odległość i czas.

Nie wiem czy równanie ma postać: \(\displaystyle{ m\vec{a}=-km \sqrt{\vec{v}}+m\vec{g}}\)

[mdd]

Zatem siła oporu ruchu jest dana wzorem:

\(\displaystyle{ \vec{R}=-km\sqrt{v} \ \frac{ \vec{v} }{v}}\)

Jeśli tak to równania ruchu:

\(\displaystyle{ \begin{cases} m\frac{dv_x}{dt}=-km\sqrt{v} \cdot \frac{v_x}{v} \\
m\frac{dv_y}{dt}=mg-km\sqrt{v} \cdot \frac{v_y}{v}\end{cases}}\)

gdzie: \(\displaystyle{ v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}}\)

Warunki początkowe:
\(\displaystyle{ \begin{cases} v_x(0)=v_o \\
v_y(0)=0\end{cases}}\)
Oś "y" układu współrzędnych kierujemy "w dół", oś "x" w prawo.

Chyba dobrze kombinuję... bo późno już

[Ziczor]

To \(\displaystyle{ \frac{v_y}{v}}\) i \(\displaystyle{ \frac{v_x}{v}}\) to są wersory tak? Brakowało mi właśnie tego co zrobić z warunkami początkowymi. Jeszcze gdzieś w sieci znalazłem rozwiązanie bez siły ciężkości, ale to raczej było błędne.

[mdd]

To \(\displaystyle{ \frac{v_y}{v}}\) i \(\displaystyle{ \frac{v_x}{v}}\) to są wersory tak?

Nie. \(\displaystyle{ v_x, v_y}\) to składowe wektora prędkości.

\(\displaystyle{ \vec{v}=[v_x; v_y]}\)

albo inaczej:

\(\displaystyle{ \vec{v}=v_x \vec{i}+v_y \vec{j}}\)

\(\displaystyle{ v}\) to moduł wektora prędkości \(\displaystyle{ \vec{v}}\)

\(\displaystyle{ v=\left| \vec{v} \right|}\)

Natomiast \(\displaystyle{ \frac{ \vec{v} }{v}}\) jest wektorem jednostkowym o kierunku i zwrocie wektora prędkości \(\displaystyle{ \vec{v}}\).

[kruszewski]

\(\displaystyle{ m\frac{dv_x}{dt}=-km\sqrt{v} \cdot \frac{v_x}{v} \\ m\frac{dv_y}{dt}=mg-km\sqrt{v} \cdot \frac{v_y}{v}}\)
Zajmijmy się drugim równaniem:
\(\displaystyle{ m\frac{dv_y}{dt}=mg-km\sqrt{v} \cdot \frac{v_y}{v}}\),
które napiszmy w postaci :
\(\displaystyle{ m\frac{dv_y}{dt}=mg-km\sqrt{v_y}}\)
Dzieląc obie strony przez \(\displaystyle{ m \neq 0}\) i rozdzielając zmienne otrzymamy :
\(\displaystyle{ \frac{dv_y}{v_y} \cdot \sqrt{v_y} - \frac{g}{v_y} \cdot \sqrt{v_y} = - k \cdot dt}\)
Całkując to równanie z wykorzystaniem warunku początkowego : dla \(\displaystyle{ t=0 \ v_o=0}\)
da nam równie opisujące zależność prędkości pionowej w funkcji czasu ruchu a ten biegnie jednakowo dla ruchu w obu kierunkach.
Podobnie :
\(\displaystyle{ \frac{dv_x}{dt}= - k \cdot \sqrt{v_x}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{v_x} \cdot \frac{dv_x}{v_x} =-k \cdot dt}\)
ze stałą całkowania \(\displaystyle{ D}\) z warunku początkowego :
dla t=0 \(\displaystyle{ v_x = v}\)
Trzecie równanie jakie jest do dyspozycji, to : \(\displaystyle{ (v(t))^2= (v_x(t))^2 + (v_y(t))^2}\)
przy znanym, bo zadanym \(\displaystyle{ v_(_o_) =v}\)

W.Kr.