Oblicz drogę i przyspieszenie po czasie

[dumek93]

Witam,
Mam wątpliwości, co do zadania:
Równanie prędkości badanego obiektu jest dane następującym wzorem \(\displaystyle{ v(t) = 5e^{t}}\) [km/h]. Oblicz:
a) Jaką drogę przebędzie po 10 min?
b) Jakie przyspieszenie jakie osiągnie po tym czasie?

W a) wyszło mi \(\displaystyle{ s \approx 5,9 km}\), a w b) \(\displaystyle{ a \approx 2,73 \cdot 10 ^{-3} m/s ^{2}}\) . Mógłby ktoś sprawdzić czy otrzymane przeze mnie wyniki są poprawne, a jeśli nie, to mogę prosić o podanie rozwiązania bądź jakichś podpowiedzi?

Dziękuję

[JakimPL]

Czyżbyś wyliczyła prędkość w dziesiątej minucie i przemnożyła razy całą godzinę? Korzystając z tego, że \(\displaystyle{ 10}\) minut to \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\) godziny oraz tego, że droga jest polem pod wykresem prędkości od czasu (czyli całką oznaczoną), otrzymujemy:

\(\displaystyle{ s = \int_0^{\frac{1}{6}} 5 e^t \mbox{d}t = 5 e^{\frac{1}{6}} - 5 e^0 = 5 (e^{\frac{1}{6}} - 1) \approx 0.906802\ \rm{km/h}}\)

Przyspieszenie jest pochodną po prędkości, zatem \(\displaystyle{ a\left(\frac{1}{6}\right) = v'\left(\frac{1}{6}\right) = 5 e^{\frac{1}{6}} \approx 5.9068 \ \rm{km/h}^2}\).

[dumek93]

Ale skoro \(\displaystyle{ \int_{}^{} e^{x} dx = e ^{x}}\), to tam nie powinno być:
\(\displaystyle{ s = \int_{t _{0} }^{t} 5e ^{t}dt = 5 \int_{t _{0}}^{t} e^{t} dt = 5e ^{t}}\) ?

[AiDi]

oraz tego, że droga jest polem pod wykresem prędkości od czasu (czyli całką oznaczoną)

Ściśle - nie prędkości, a wartości prędkości. Całka z prędkości da przemieszczenie.

dumek93 poszukaj jak się liczy całki oznaczone. Ostatnia równość nie do końca jest prawdziwa.

[dumek93]

poszukaj jak się liczy całki oznaczone. Ostatnia równość nie do końca jest prawdziwa.

Jeśli nie do końca jest prawdziwa, tzn co jest źle? Robiłam wg tego, co było na zajęciach i niby powinno być dobrze, więc jeśli wiesz, co jest nie tak, to mógłbyś mi to jakoś wytłumaczyć?

[AiDi]

Chodzi o wzór końcowy. Liczysz całkę oznaczoną, czyli musisz mieć różnicę funkcji pierwotnych w punktach będących granicami całkowania:
\(\displaystyle{ \int_{t_0}^t fdt= F(t)-F(t_0)}\).

[dumek93]

Ok, to to już rozumiem, wiem gdzie robiłam błąd. A jeśli chodzi o podpunkt b? Muszę go liczyć z pochodnych czy mogę całkować? Bo jeśli robię z pochodnych, to dochodzę do \(\displaystyle{ 5e^{t}}\), a jeśli całkuje to wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{5e^{t}}{t}}\), więc które rozwiązanie jest poprawne?

[AiDi]

Z definicji przyspieszenie to pochodna prędkości po czasie.

[dumek93]

Ok, dziękuję bardzo za pomoc