Wyznaczenie masy w zależności od odległości od centrum

[trick]

Cześć,
mam problem, otóż potrzebuję wyznaczyć masę ciała o pewnym promieniu R i gęstości kulisto-symetrycznej zależnej od odległości od centrum ciała zgodnie ze wzorem
\(\displaystyle{ \rho\left( r\right) = \rho _{max} \left( 1 - \frac{r}{R} \right)}\)
Jak to zrobić?

[AiDi]

Skorzystać z definicji gęstości: \(\displaystyle{ \rho=\frac{dm}{dV}}\). Masa to będzie gęstość scałkowana po całej objętości ciała.

[Tomek_Fizyk-10]

\(\displaystyle{ \rho\left( r\right) = \rho _{max} \left( 1 - \frac{r}{R} \right)}\)
\(\displaystyle{ \rho = \frac{ \mbox{d}m }{ \mbox{d}V }}\)
\(\displaystyle{ m= \int_{}^{} \rho _{max} \left( 1 - \frac{r}{R} \right) \mbox{d}V = \rho _{max} \left( C+V - \int_{}^{} \frac{r}{R} \mbox{d}V \right)}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{4}{3} \pi r ^{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}V }{ \mbox{d}r } = 4 \pi r ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \mbox{d}V = 4 \pi r ^{2} \mbox{d}r}\)
\(\displaystyle{ m = \rho _{max} \left( C + V - \int_{}^{} \frac{r}{R} 4 \pi r ^{2} \mbox{d}r \right) = \rho _{max} \left( C + V - \pi \frac{r ^{4} }{R} \right)}\)
\(\displaystyle{ m (r) = \rho _{max} \left( C + \frac{4}{3} \pi r ^{3} - \pi \frac{r ^{4} }{R} \right)}\)
\(\displaystyle{ m(0) = \rho _{max} \cdot C = 0}\)
\(\displaystyle{ C = 0}\)
\(\displaystyle{ m (r) = \rho _{max} \left( \frac{4}{3} \pi r ^{3} - \pi \frac{r ^{4} }{R} \right)}\)
Jeżeli promień tego ciała będzie wynosił \(\displaystyle{ R}\), to jego masa wyniesie:
\(\displaystyle{ m = \frac{4}{3} \pi R ^{3} - \pi R ^{3} = \frac{1}{3} \pi R ^{3}}\)

Pozdrawiam!

[trick]

Zgadza się z moimi przeliczeniami, dziękuję. Jak z kolei obliczyć pole elektryczne wokół nieskończenie długiego walca o promieniu R, jednorodnie naładowanego o danej gęstości powierzchniowej?
Wiadomo, że \(\displaystyle{ Q = \rho _{S} S}\)
Zatem z prawa Gaussa \(\displaystyle{ \oint \vec{E} \circ d\vec{S} = \frac{Q}{\epsilon _{0}}}\)
Skąd \(\displaystyle{ E \cdot S = \frac{\rho _{S} \cdot S}{\epsilon _{0}}}\)
Czyli \(\displaystyle{ E = \frac{\rho _{S}}{\epsilon _{0}}}\)
Czy tak, czy nie tak?

[kruszewski]

Problem można potraktować geometrycznie.
Gęstość ciała maleje wg wzoru jak podano, zatem wykresem gęstości w funkcji odległości od środka jest prosta \(\displaystyle{ (0,\R ; R,0}\)
Można zauważyć, że bryła taka o gęstości \(\displaystyle{ \rho}\) jak w środku bryły jest stożkiem o wysokości \(\displaystyle{ h=R}\) i podstawie o promieniu \(\displaystyle{ 2R}\) powstałym z obrotu trójkąta o wysokości \(\displaystyle{ R}\) o kąt pełny. Zatem zgodnie z tw.Pappusa objętość stożka \(\displaystyle{ V= \frac{1}{2} \cdot R \cdot R \cdot \frac{R}{3} \cdot 2 \pi = \frac{1}{3} \pi \cdot R ^{3}}\) , a pomnożona przez gęstość \(\displaystyle{ \rho}\) jest masą bryły o tak rozłożonej masie odpowiadającej walcowi o wysokości \(\displaystyle{ R}\) i kołowej podstawie o promieniu \(\displaystyle{ R}\).

W.Kr.