Dynamika punktu materialnego - siła centralna

[Bzyllu]

Punkt materiał o masie m porusza się w płaszczyźnie pionowej pod działaniem siły centralnej proporcjonalnej do odległości od nieruchomego centrum: \(\displaystyle{ F = - k^{2} \cdot m \cdot r}\), gdzie r to ta odległość. Znaleźć równanie toru punktu, jeśli w chwili początkowej zajmował położenie o współrzędnych \(\displaystyle{ (a, -\frac{g}{ k^{2} })}\) i miał prędkość \(\displaystyle{ V_{0}}\) o zwrocie wzdłuż osi y. Oczywiście pionowo do dołu działa siła grawitacji.

Z góry dziękuję za wszelaką pomoc.-- 23 grudnia 2011, 20:08 --

[ares41]

Zapisz równanie różniczkowe wynikające z drugiej zasady dynamiki.

[Bzyllu]

\(\displaystyle{ m \cdot x'' = -k^{2}mx}\)
\(\displaystyle{ m \cdot y'' = -k^{2}my - mg}\)

mam coś takiego, nie wiem czy dobrze, gdyż we wzorze na siłę centralną jest odległość od centrum, ale zapisał mi to wykładowca (może jego błąd?)
problem pojawia się dopiero wtedy gdy trzeba je rozwiązać

[ares41]

W tych wzorach wektor określający tą odległość \(\displaystyle{ \vec{r}}\) został rozłożony na dwie składowe: \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\).

Należy rozwiązać teraz podane równania różniczkowe.
Zauważ, że pierwsze z równań przedstawia równanie oscylatora harmonicznego.
Natomiast drugie różni się od pierwszego tylko o stałą wartość. Jest to równanie niejednorodne. Zatem jego rozwiązaniem jest suma rozwiązania równania jednorodnego i szczególnego rozwiązania niejednorodnego.

[Bzyllu]

Serdeczne dzięki za wskazówki.