Matematyka.pl

Przy rozpatrywaniu ruchu, kiedy na ciało poruszające się z prędkością początkową \(\displaystyle{ v _{0}}\) działają dwie siły: siła oporu powietrza i siła tarcia.... Natrafiłem na takie równanie:
\(\displaystyle{ \frac{dv}{dt}=- \left( B + \gamma \cdot \frac{v ^{2} }{m} \right)}\)
i tu narodził się kłopot, ponieważ rozwiązując to równanie otrzymałem zupełnie niezgodny wynik. Powiedzcie mi w czym jest błąd... Z góry dziękuję za pomoc!
Moje rozwiązanie jest następujące:
\(\displaystyle{ v \left( t \right) = \frac{m}{ \gamma } \sqrt{ \gamma \frac{B}{m}} \cdot \tg{ \left( -t \sqrt{ \gamma \frac{B}{m} } \right)}}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ \gamma = \frac{1}{2} \rho \cdot A \cdot C _{x} \\
B=f _{s} \cdot g \\
\tg{(...}) \rightarrow \text{funkcja tangensa}}\)

Hmmm... aż tak niezgodny to on chyba nie jest, ale nie zjadłeś przypadkiem stałej całkowania? W końcowym wzorze przydałoby się \(\displaystyle{ v_0}\)...

Dodając stałe całkowania, otrzymałem:
\(\displaystyle{ v \left( t \right) = \frac{m}{ \gamma } \sqrt{ \gamma \frac{B}{m}} \cdot \tg{ \left( -(C _{1} +t - C _{2} ) \sqrt{ \gamma \frac{B}{m} } \right)}}\)
Co również nie może być dobrym rozwiązaniem, gdyż prędkość w takim ruchu powinna maleć (wydaje mi się, że funkcją eksponencjalną) w czasie... Tak więc, w czym robię błąd. Bardzo proszę o pomoc.

I maleje. Jeżeli uporządkujemy te równanie na prędkość do przyzwoitej postaci to mamy
\(\displaystyle{ v \left( t \right) = \frac{m}{ \gamma } \sqrt{ \gamma \frac{B}{m}} \cdot \tg{ \left(C _{1} -t\cdot\sqrt{ \gamma \frac{B}{m} } \right)}}\)
Uwzględniając warunek początkowy:
\(\displaystyle{ v \left( t \right) = \frac{m}{ \gamma } \sqrt{ \gamma \frac{B}{m}} \cdot \tg{ \left(arctg\sqrt{\frac{\gamma\cdot v_0^2}{Bm}} -t\cdot\sqrt{ \gamma \frac{B}{m} } \right)}}\)
Funkcja \(\displaystyle{ v=v(t)}\) jest więc funkcją malejącą.

W porządku. Wszystko się zgadza, jednak jak wytłumaczyć to, że te wykresy stale się powtarzają, przecież powinno być tak, że prędkość \(\displaystyle{ v}\) poruszającego się ciała maleje tylko raz w czasie \(\displaystyle{ t}\) i potem wynosi ciągle \(\displaystyle{ 0}\),a na naszym wykresie tego nie ma..., dlaczego tak się dzieje?

Bo trzeba zwracać uwagę jakie są założenia dla niektórych operacji matematycznych. W pewnym momencie operujesz na arcusie tangensie, przeczytaj tutaj jaką dziedzinę ma odpowiadający mu tangens:

Czyli wynik jest poprawny tylko dla takiego zakresu czasu.

Już wszystko jasne... Dziękuję wam za pomoc!!! Pozdrawiam.