Przyspieszenie w ruchu jednostajnym po okręgu - podobieństwo trójkątów

[Math_s]

Cześć,

proszę o pomoc w zrozumieniu dlaczego trójkąty są do siebie podobne - mowa o wyprowadzaniu wzoru na przyspieszenie w jednostajnym ruchu po okręgu. Tutaj link do strony:

Kod: Zaznacz cały

https://cnx.org/contents/TqqPA4io@4.2:oNHpNtyy@5/4-4-Ruch-po-okr%C4%99gu

Rozumiem, dlaczego oba trójkąty są równoramienne, ale nie bardzo jasne jest dla mnie to, dlaczego mają ten sam kąt \(\displaystyle{ \theta}\).

Bardzo proszę o wytłumaczenie - im bardziej na gruncie matematycznym, tym lepiej.

[janusz47]

Jeśli umieścimy wektor \(\displaystyle{ \vec{v}(t) }\) w punkcie zaczepiania wektora \(\displaystyle{ \vec{v}(t+\Delta t), }\) zachowując jego zwrot i kierunek to trójkąt przemieszczenia \(\displaystyle{ \vec{r}(t), \ \ \vec{r}(t + \Delta t), \ \ \vec{\Delta}(r) }\) jest podobny do trójkąta prędkości stycznej \(\displaystyle{ \vec{v}(t), \vec{v}(t+\Delta t), \vec{\Delta v} }\) na mocy cechy podobieństwa "kąt, kąt, kąt".

Równość tych kątów wynika, z twierdzenia " kąty z ramionami zgodnie prostopadłymi mają równe miary".

[kruszewski]

Szkic objaśniający


Tu więcej

Ukryta treść:    

[Math_s]

Jeśli umieścimy wektor \(\displaystyle{ \vec{v}(t) }\) w punkcie zaczepiania wektora \(\displaystyle{ \vec{v}(t+\Delta t), }\) zachowując jego zwrot i kierunek to trójkąt przemieszczenia \(\displaystyle{ \vec{r}(t), \ \ \vec{r}(t + \Delta t), \ \ \vec{\Delta}(r) }\) jest podobny do trójkąta prędkości stycznej \(\displaystyle{ \vec{v}(t), \vec{v}(t+\Delta t), \vec{\Delta v} }\) na mocy cechy podobieństwa "kąt, kąt, kąt".

Równość tych kątów wynika, z twierdzenia " kąty z ramionami zgodnie prostopadłymi mają równe miary".

Dziękuję za chęć i próbę pomocy, jednak wciąż czegoś tu nie rozumiem. Nie jest dla mnie teraz jasne to dlaczego możemy skorzystać z prawa "kąt-kąt-kąt". Wiemy tylko tyle, że trójkąty są równoramienne, ale nie mamy pojęcia o ich kątach, więc skąd możemy wnioskować na zasadzie "kąt-kąt-kąt", że są przystające?

Przepraszam, drążę temat, bo naprawdę coś tu niestety ciągle nie jest dla mnie jasne.

Twierdzenie: " kąty z ramionami zgodnie prostopadłymi mają równe miary" - jak dokładnie brzmi? Szukam w Internecie, ale albo źle szukam albo nie rozumiem.

Dodano po 1 minucie 32 sekundach:

Szkic objaśniający


Tu więcej

Ukryta treść:    

Dziękuję za szkic. Niestety nie umiem "wyczytać" prawdy w nim zawartej. Dziękuję za chęć pomocy, ale nie bardzo rozumiem jak ten szkic tłumaczy fakt, że trójkąty te są do siebie podobne, tj., że mają ten sam kąt pomiędzy równymi ramionami.

(Edit.)
Czy ja to w końcu zrozumiałam? Jeżeli spojrzeć na ten szkic, to widzimy trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątna to promieć okręgu. Jeżeli kąt między przeciwprostokątną a bokiem będącym częścią promienia oznaczymi, np. jako \(\displaystyle{ \alpha}\), to naturalnie trzeci kąt tego trójkąta, to \(\displaystyle{ 90 - \alpha}\). Patrząc potem, mamy takie cos, poniewaz kąt półprostej, to 180, zatem: \(\displaystyle{ 180 - (90 + (90 - \alpha))}\), a wiec szukany kąt, to \(\displaystyle{ \alpha}\). Czyli to są te same kąty, zatem na mocy: "bok-kąt-bok" wnioskujemy o ich podobieństwie, czy tak? W takim razie, jeżeli moje rozumowanie w oparciu o ten szkic jest poprawny, to w jaki sposób - według pierwszego wpisu - można podobieństwo wykazać na mocy: "kąt-kąt-kąt"?

[a4karo]

Oznaczenia kątow sa błędne: na rysunku b) kąt powinien być równy `\Delta\theta` a nie `\theta`. Pewne stąd nieporozumienie

[Math_s]

Oznaczenia kątow sa błędne: na rysunku b) kąt powinien być równy `\Delta\theta` a nie `\theta`. Pewne stąd nieporozumienie

Niestety, nie stąd. Inaczej - co jest dla mnie niejasne: dlaczego możemy zastosować kryterium "kąt-kąt-kąt", jak to zostało wyżej zasugerowane? Przecież jedyne co wiemy, to to, że oba trójkąty są równoramienne. Na jakiej więc podstawie wnioskuje się, że oba mają ten sam kąt \(\displaystyle{ \theta}\) pomiędzy ramionami?

[kruszewski]

dpowiadam Koledze Math_s :
z wzajemnego położenia niebieskich odcinków na szkicu od środka okręgu \(\displaystyle{ O}\) do grota wektora prędkości stycznej \(\displaystyle{ V_\tau}\) w obu położeniach promienia \(\displaystyle{ \vec{OA} }\)
Obrotu trójkąta prostokątnego o bokach \(\displaystyle{ OA, AB. BO}\) wokół środka \(\displaystyle{ O}\) o kąt \(\displaystyle{ \angle AOA'}\)
Może ten szkic pomoże w objaśnieniu:

[janusz47]

Math_s
Proszę wziąć do ręki podręcznik szkolny z geometrii na przykład: Adama Łomnickiego, Gustawa Trelińskiego do klasy I czy Bronisława Ladaczka Geometria Elementarna i zapoznać się z twierdzeniem o kątach z z ramionami zgodnie prostopadłymi.