Iloczyn wektorowy operatorów momentu pędu za pomocą Levi-Civita

Budowa atomu. Promieniotwórczość i rozpady atomowe. Reakcje jądrowe. Fizyka ciała stałego. Zjawiska kwantowe i mechanika kwantowa.
ForestWillow
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 2 cze 2018, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska Kraina
Podziękował: 5 razy

Iloczyn wektorowy operatorów momentu pędu za pomocą Levi-Civita

Post autor: ForestWillow »

Cześć :)

Profesor zadał nam pytanie w jaki sposób można zapisać \(\displaystyle{ \hat{J}\times\hat{J}}\) za pomocą symbolów Levi-Civit'a, gdzie \(\displaystyle{ \hat{J}=-i\hbar\left(\vec{r}\times\vec{\nabla}\right)}\)
Rozpisałem to sobie w następujący sposób:

\(\displaystyle{ \left(\hat{J}_{k}\times\hat{J}_{l}\right)_{m}=\mathcal{E}_{mkl}\hat{J_{k}}\hat{J_{l}}=\mathcal{E}_{mkl}\left(-i\hbar\mathcal{E}_{kpr}r_{p}\partial_{r}\right)\left(-i\hbar\mathcal{E}_{los}r_{o}\partial_{s}\right)=\hbar^{2}\mathcal{E}_{mkl}\mathcal{E}_{kpr}r_{p}\partial_{r}\mathcal{E}_{los}r_{o}\partial_{s}=}\)

\(\displaystyle{ =-\hbar^{2}\mathcal{E}_{kml}\mathcal{E}_{kpr}r_{p}\partial_{r}\mathcal{E}_{los}r_{o}\partial_{s}=-\hbar^{2}\left(\delta_{mp}\delta_{lr}-\delta_{mr}\delta_{lp}\right)r_{p}\partial_{r}\mathcal{E}_{los}r_{o}\partial_{s}=\hbar^{2}\delta_{mr}\delta_{lp}r_{p}\mathcal{E}_{los}r_{o}\partial_{s}-\hbar^{2}\delta_{mp}\delta_{lr}r_{p}\partial_{r}\mathcal{E}_{los}r_{o}\partial_{s}=-\hbar^{2}r_{m}\partial_{l}\mathcal{E}_{los}r_{o}\partial_{s}+\hbar^{2}r_{l}\partial_{m}\mathcal{E}_{los}r_{o}\partial_{s}}\)

I dochodzę do takiej postacji:

\(\displaystyle{ \hbar^{2}\left[\vec{r}_{l}\left(\vec{\nabla}_{m}\left(\vec{r}_{o}\times\vec{\nabla}_{s}\right)_{l}\right)-\vec{r}_{l}\left(\vec{\nabla}_{l}\cdot\left(\vec{r}_{o}\times\vec{\nabla}_{s}\right)_{l}\right)\right]}\)

Teraz nie wiem czy zapis za pomocą Levi-Civit'a, to jest właśnie ten przebieg powyżej?

Z góry dziękuję serdecznie za pomoc :)
ODPOWIEDZ