Z reaktorów jądrowych - zadań parę

[naznaczony]

Cześć, na pewnym portalu raz w tygodniu publikuję jakieś pytanko związane z energetyką jądrową w dosyć szerokim jej rozumieniu. Pomyślałem, że może i tutaj znalazłyby się jakieś osoby chętne, aby się po prostu dowiedzieć czegoś nowego, uporządkować sobie wiedzę w tym temacie. A może ktoś dołączy do zabawy i będzie publikował swoje odpowiedzi? Tylko w spojlerze oczywiście. Nowe pytanko i odpowiedź do pytania z poprzedniego tygodnia wrzucam w każdy wtorek, chyba, że jakieś siły wyższe mnie od tego odciągną.

Z literatury polecam:
J. Kubowski - Elektrownie Jądrowe
M. Kiełkiewicz - Teoria reaktorów jądrowych
P. Reuss - Neutron Physics
A. J. Baratta, J. R. Lamarsh - Introduction to Nuclear Engineering (4th Edition)
Бартоломей Г.Г., Бать Г.А., Байбаков В.Д., Алхутов М.С. - Основы теории и методы расчета ядерных энергетических реакторов
Elmer E. Lewis - Fundamentals of Nuclear Reactor Physics
J. J. Duderstadt, L. J. Hamilton - Nuclear Reactor Analysis

Zadanka

25.9.2018, 1. Które wartości opisują reaktor w stanie krytycznym, pracujący ze stałą niezmieniającą się w czasie mocą?
\(\displaystyle{ K_{eff}}\) - efektywny współczynnik mnożenia,
\(\displaystyle{ \rho}\) - reaktywność,
\(\displaystyle{ \beta _{eff}}\) - efektywny udział neutronów opóźnionych

a) \(\displaystyle{ K_{eff}=0}\); \(\displaystyle{ \rho>\beta _{eff}}\)
b) \(\displaystyle{ K_{eff}=1}\); \(\displaystyle{ \rho=0}\)
c) \(\displaystyle{ K_{eff}=1}\); \(\displaystyle{ \rho=1}\)
d) \(\displaystyle{ K_{eff}=0}\); \(\displaystyle{ \rho=0}\)

2.10.2018, 2. Dla podanych danych oraz korzystając z jednogrupowej teorii dyfuzji wyznaczyć objętość krytyczną sfery.
(taką dla której współczynnik mnożenia jest równy jeden)
Dane:
\(\displaystyle{ \Sigma _{a}=0,25 \frac{1}{cm}}\)
\(\displaystyle{ \Sigma_{f} \nu _{f}= 0,285 \frac{1}{cm}}\)
\(\displaystyle{ D=2 cm}\)
\(\displaystyle{ B^{2} =\left( \frac{ \pi }{R} \right)^{2}}\)

a) \(\displaystyle{ \approx 0,056 m^{3}}\)
b) \(\displaystyle{ \approx 3,54 m^{3}}\)
c) \(\displaystyle{ \approx 1,15 m^{3}}\)
d) \(\displaystyle{ \approx 0,89 m^{3}}\)

9.10.2018, 3. W podkrytycznym reaktorze nastąpił wzrost efektywnego współczynnika mnożenia z wartości \(\displaystyle{ 0,85}\) do \(\displaystyle{ 0,95}\), stało się to dzięki uniesieniu prętów kontrolnych. Która wartość reaktywności odpowiada tej wprowadzonej do rdzenia?

a) \(\displaystyle{ 0,099 \frac{\Delta k}{k}}\)
b) \(\displaystyle{ 0,124 \frac{\Delta k}{k}}\)
c) \(\displaystyle{ 0,176 \frac{\Delta k}{k}}\)
d) \(\displaystyle{ 0,229 \frac{\Delta k}{k}}\)

16.10.2018, 4. Efektywny współczynnik mnożenia równy jest \(\displaystyle{ K_{eff}=0,92}\), jaka dodatnia reaktywność musi być wprowadzona do rdzenia reaktora, aby reaktor był w stanie krytycznym?

a) \(\displaystyle{ 7,153 \frac{ \% \Delta k}{k}}\)
b) \(\displaystyle{ 8,695 \frac{ \% \Delta k}{k}}\)
c) \(\displaystyle{ 8,519 \frac{ \% \Delta k}{k}}\)
d) \(\displaystyle{ 7,164 \frac{ \% \Delta k}{k}}\)

23.10.2018, 5.Ilość ciepła generowanego w paliwie jądrowym podczas pracy reaktora jest głównie określona przez:

a) położenie prętów awaryjnego wyłączania reaktora
b) wypalenie paliwa
c) historię zmian mocy reaktora
d) stężenie samaru-149

10.30.2018, 6. Reaktor (PWR) zasilał serwerownie matematyka.pl przez bardzo długi czas pracując na 100% mocy, \(\displaystyle{ \rho=0}\), pręty kontrolne były w 100% wyciągnięte, temperatura moderatora była równa \(\displaystyle{ 320 ^{\circ}C}\). Z powodu awarii LaTeXa reaktor uległ wyłączeniu (0% mocy) i wszystkie pręty kontrolne zostały zrzucone do rdzenia.
Po pewnym czasie temperatura moderatora ustabilizowała się na \(\displaystyle{ 280 ^{\circ}C}\).

Na podstawie danych informacji (pominąć trucizny reaktorowe) obliczyć obecną reaktywność rdzenia.
współczynnik mocy (tzn. power coefficient) \(\displaystyle{ =-0,015 \frac{ \% \Delta k}{k} \frac{1}{ \% }}\)
wartość reaktywności prętów kontrolnych \(\displaystyle{ =-2,137 \frac{ \% \Delta k}{k}}\)
temperaturowy współczynnik reaktowyności (tzw. TMC) \(\displaystyle{ =-0,0016 \frac{ \% \Delta k}{k} \frac{1}{^{\circ}C}}\)

a) \(\displaystyle{ 2,585 \frac{ \% \Delta k}{k}}\)
b) \(\displaystyle{ -2,585 \frac{ \% \Delta k}{k}}\)
c) \(\displaystyle{ -0,637 \frac{ \% \Delta k}{k}}\)
d) \(\displaystyle{ 0,637 \frac{ \% \Delta k}{k}}\)

6.11.2018, 7. W której z podanych poniżej list znajdują się radionuklidy uszeregowane od tych, które mają najmniejszy przekrój czynny na pochłanianie do tych o największym przekroju czynnym na pochłanianie (rozważyć neutrony termiczne)?

a) U-235, B-10, Xe-135
b) B-10, U-235, Xe-135
c) Xe-135, U-235, B-10
d) U-235, Xe-135, B-10

13.11.2018, 8. Czas życia prekursorów neutronów \(\displaystyle{ \ldots}\) równy jest średnio \(\displaystyle{ \approx 13 s}\) (dla U-235), o jakich neutronach mowa?

a) opóźnionych
b) pociesznych
c) górnych
d) natychmiastowych

20.11.2018, 9. Obliczyć geometric buckling dla reaktora WWER-1000 i RBMK-1000 przy założeniu, że są to idealne reaktory w kształcie cylindra.
WWER-1000: wysokość \(\displaystyle{ 3 m}\), średnica \(\displaystyle{ 3,5 m}\)
RBMK-1000: wysokość \(\displaystyle{ 7 m}\), średnica \(\displaystyle{ 12 m}\).

20.11.2018, 10. Udowodnić, że całkowitać ilość uwolnionej energii \(\displaystyle{ E}\), w czasie \(\displaystyle{ t}\) sekund, jest w przybliżeniu wyrażona poniższym równaniem w przypadku skokowej zmiany reaktywności o wartości \(\displaystyle{ \rho> \beta}\) w reaktorze krytycznym. Równanie:

\(\displaystyle{ E=[P(t)-P(0)] \frac{l}{K(\rho-\beta)}}\)

gdzie:
\(\displaystyle{ l}\) - czas życia neutronów natychmiastowych
\(\displaystyle{ \rho}\) - reaktywność
\(\displaystyle{ \beta}\) - frakcja neutronów opóźnionych
\(\displaystyle{ K}\) - współczynnik mnożenia
\(\displaystyle{ P(t)}\) - moc reaktora w czasie t sekund

27.11.2018, \(\displaystyle{ 11.}\)Co to za równania i co trzeba zrobić, aby przejść z równania po lewej stronie do równania po prawej stronie?

\(\displaystyle{ \frac{ \partial n}{ \partial t}=s-\Sigma _{a}\phi -div J \rightarrow \frac{ \partial n}{ \partial t}=D \nabla \phi-\Sigma _{a}\phi +s}\)

No i pytanko na obecny tydzień, na odpowiedzi czekam do następnego tygodnia
12. Cztery izotropowe źródła neutronów emitujące \(\displaystyle{ S}\) neutronów/s zostały umieszczone w poziomie, w nieskończenie wielkim moderatorze, tak że każde ze źródeł jest umieszczone w rogu kwadratu o boku a.
Obliczyć prąd neutronów \(\displaystyle{ J}\) w środku tego kwadratu.
Obliczyć strumień neutronów \(\displaystyle{ \phi}\) w środku tego kwadratu.
Obliczyć strumień neutronów \(\displaystyle{ \phi}\) w połowie długości dowolnego boku tego kwadratu.

AU

uKW0GU2.png (4.29 KiB) Przejrzano 137 razy

Odpowiedzi:
1.

Ukryta treść:    

b), ponieważ efektywny współczynnik mnożenia musi być równy zero w reaktorze krytycznym, a reaktywność równa zero świadczy o braku odchyleń w jego pracy

2.

Ukryta treść:    

Należy skorzystać z poniższego równania:
\(\displaystyle{ K= \frac{\Sigma_{f} \nu _{f}}{DB^{2}+\Sigma _{a}}}\)
Mając wyznaczyć objętość krytyczną dla sfery, przyjmujemy \(\displaystyle{ K=1}\). Ponadto, podstawiając wartość bucklingu i wyznaczając promień otrzymujemy:
\(\displaystyle{ R= \frac{ \pi }{ \sqrt{ \frac{\Sigma_{f} \nu _{f}-\Sigma _{a}}{D} } }}\)
Następnie obliczamy objętość krytyczną:
\(\displaystyle{ V_{kryt} = \frac{4}{3} \pi R ^{2}}\)
Po podstawieniu, odp. a)

3.

Ukryta treść:    

Reaktywność definiujemy następująco:
\(\displaystyle{ \rho= \frac{ K_{eff}-1 }{K_{eff}}}\)
Policzmy ją dla obu przypadków:
\(\displaystyle{ \rho _{1} = \frac{ 0,85-1 }{0,85}= -0,176 \frac{\Delta k}{k}}\)
\(\displaystyle{ \rho _{2} = \frac{ 0,95-1 }{0,95}= -0,052 \frac{\Delta k}{k}}\)
Odejmijmy je od siebie, tak aby sprawdzić jaką wartość reaktywności wprowadzono do rdzenia:
\(\displaystyle{ \left|\rho _{1}-\rho _{2} \right| =0,125\frac{\Delta k}{k}}\)
Odpowiedź b).

4.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \rho = \frac{ 0,92-1 }{0,92}= -0,08695 \frac{\Delta k}{k}}\)
\(\displaystyle{ -0,08695 \frac{\Delta k}{k}= -8,695 \frac{\% \Delta k}{k}}\)
Odpowiedź b)

5.

Ukryta treść:    

c)
W przypadku pracy przez enty czas ze stałą mocą mamy bardzo stabilną sytuację w rdzeniu, ciepło wydzielane w FA jest równomiernie rozłożone (w stosunku do rozkładu strumienia neutronów). W sytuacji zmiany położenia CR następuje załamanie równomierności rozłożenia strumienia neutronów po wysokości FA. Dla przykładu, reaktor pracował z pełną mocą przez długi czas (wszystkie parametry są stabilne), operator porusza prętami kontrolnymi zagłębiając je dla przykładu w 1/4 wysokości rdzenia, dodatkowo załóżmy BOC. Taka zmiana CR wywoła oscylacje offsetu, ten będzie rzutował na oscylacje w generacji ciepła w FA po jej wysokości.
Przykład inny.
Reaktor pracuje ze stałą mocą, załóżmy, że w związku z wypadnięciem którejść z MCP z automatu praktycznie skokowo jest zmieniana moc do 50%.
Sytuacja ta miała miejsce 11 godzin wcześniej. Czy pik stężenia ksenonu wystepujący po ~11 h + silne oscylacje offsetu nie będą miały wpływu na ilość ciepła generowanego w tym momencie w FA + na problemy z podniesieniem mocy?
Przykład inny.
Reaktor pracuje ze stałą mocą, zejście do 50% mocy, reaktor pracuje tak przez parę godzin, następnie wzrost mocy do 100%. (

Kod: Zaznacz cały

https://i.imgur.com/frd4hyL.jpg

)
Na dole czas 1:15 h, użyłem przyśpiszonej kinetyki rdzenia i całkowity czas symulacji równy jest 97 h.
Kv - współczynnik nierównomierności w objętości rdzenia
PN_AXY - gdzie Y to miejsce w wysokości FA, odległości co 35 cm. Jest to nierównomierność rozłożenia strumienia neutronów po wysokości FA w każdym z tych 35 cm przedziałów, FA 2% wzbogacenia, BOC, 1 załadunek.

6.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \rho=1,5-2,137=-0,637 \frac{ \% \Delta k}{k}}\)
Odpowiedź c)

7.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ a)}\)

8.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ a)}\)

9.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ B_{g}^{2}=\left( \frac{ \pi }{H} \right)^{2}+\left( \frac{2,405}{R} \right)^{2}}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ R}\) - promień reaktora
\(\displaystyle{ H}\) - wysokość reaktora
a) \(\displaystyle{ 1,728}\)
b)\(\displaystyle{ 0,602}\)

10.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ P(t)=P(0)e^{\frac{\rho}{l}t}=P(0)e^{\frac{\rho}{T}}}\)
gdzie \(\displaystyle{ T}\) to okres reaktora.
\(\displaystyle{ E= \int_{0}^{t}P(t)dt=TP(0)\left( e^{\frac{t}{T}}-1\right)=T\left( P(t)-P(0)\right)}\)
Aby powiązać okres reaktora z reaktywnością korzystamy z inhour equation, które w przypadku, gdy \(\displaystyle{ \rho > \beta}\) upraszcza się do:
\(\displaystyle{ \rho=\frac{l}{T\cdot K}+ \beta}\)
Wyznaczając z tego równania okres reaktora T, a następnie podstawiając do wcześniejszego wzoru otrzymamy:
\(\displaystyle{ E=[P(t)-P(0)] \frac{l}{K(\rho-\beta)}}\)

11.

Ukryta treść:    

Oba równania wiąże ze sobą prawo Flicka.
Równanie po lewej stronie zwykło się nazywać równaniem ciągłości, natomiast te po prawej jedno grupowym równaniem dyfuzji neutronów.

-- 11 gru 2018, o 18:20 --

Odpowiedź na zadanie 12:

Ukryta treść:    

a) Prąd neutronów jest wektorem, więc w tym przypadku naturalnym jest, że:
\(\displaystyle{ J_{całkowity}= J_{1} + J_{2} + J_{3} +J _{4} =0}\)
b) Strumień neutronów w omawianym przypadku równy jest:
\(\displaystyle{ \phi (r) = \frac{Se ^{- \frac{r}{L} } }{4 \pi D r}}\), gdzie:
\(\displaystyle{ S}\) - źródło neutronów
\(\displaystyle{ D}\) - współczynnik dyfuzji
\(\displaystyle{ r}\) - odległość od źródła neutronów
\(\displaystyle{ L}\) - długość dyfuzji
Strumień neutronów w środku kwadratu:

AU

1mAXaXb.png (5.62 KiB) Przejrzano 137 razy

Korzystając z całej znanej nam matematyki wyznaczamy odległość każdego ze źródeł neutronów od środka kwadratu:
\(\displaystyle{ r = \frac{ \sqrt{2} a}{2}}\)
Następnie podstawiając:
\(\displaystyle{ \phi (r) =4 \cdot \frac{Se ^{- \frac{ \frac{ \sqrt{2} }{2} a}{L} } }{4 \pi D \frac{ \sqrt{2} }{2} a}=\frac{2Se ^{- \frac{ \sqrt{2} a}{2L} } }{\pi D \sqrt{2} a}=\frac{\sqrt{2}Se ^{- \frac{ \sqrt{2} a}{2L} } }{\pi D a}}\)
c) odległość do połowy boku

AU

SYDXV28.png (5.54 KiB) Przejrzano 137 razy

Jak widać na rysunku dwa źródła neutronów są w odległości \(\displaystyle{ \frac{a}{2}}\) od środka boku, natomiast dwa pozostałe są w odległości \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{5}a }{2}}\). Podstawiając te wartości do poprzedniego równania otrzymamy:
\(\displaystyle{ \phi (r) =2 \cdot \frac{Se ^{- \frac{a}{2L} } }{4 \pi D \frac{a}{2} } + 2 \cdot \frac{Se ^{- \frac{\sqrt{5}a}{2L} } }{4 \pi D \frac{\sqrt{5}a}{2} }= \frac{Se ^{- \frac{a}{2L} } }{ \pi D a }+\frac{Se ^{- \frac{\sqrt{5}a}{2L} } }{ \pi D \sqrt{5}a }= \frac{S}{\pi D a}\left(e ^{- \frac{a}{2L} } + \frac{e ^{- \frac{\sqrt{5}a}{2L} }}{ \sqrt{5} } \right)=\frac{S}{\pi D a}\left(e ^{- \frac{a}{2L} } + \frac{\sqrt{5} e ^{- \frac{\sqrt{5}a}{2L} }}{5 } \right)}\)

Zadanie 13.
To zadanko raczej łatwo można zrobić posiłkując się poprzednim.

Trzy izotropowe źródła neutronów emitujące S neutronów/s zostały umieszczone w poziomie, w nieskończenie wielkim moderatorze, tak że każde ze źródeł umieszczone jest w rogu trójkąta równobocznego o boku \(\displaystyle{ a}\). Obliczyć:
a) Strumień neutronów \(\displaystyle{ \phi}\) w środku trójkąta.
b) Strumień neutronów \(\displaystyle{ \phi}\) w połowie długości podstawy trójkąta.
b) Prąd neutronów \(\displaystyle{ J}\) w połowie długości podstawy trójkąta.
Podpowiedź:
Prąd neutronów jest wektorem:
\(\displaystyle{ J=D \frac{ \partial \phi}{ \partial r }}\)

AU

jFGyhYz.png (6.2 KiB) Przejrzano 137 razy

-- 11 gru 2018, o 18:37 --Dlaczego nie mogę edytować poprzedniego postu? :O
Podpowiedź:
Prąd neutronów jest wektorem:
\(\displaystyle{ J=-D \frac{ \partial \phi}{ \partial r }}\)