Sprawdzając działanie operatora translacji na różne funkcje (potęgowe, trygonometryczne, ...) stwierdzamy, że funkcjami własnymi tego operatora są zespolone funkcje wykładnicze \(\displaystyle{ f(x)=A\cdot \exp(gx)}\) gdyż: \(\displaystyle{ \hat{T}A\cdot\exp(gx)=A\cdot \exp\left[ g\left( x-t\right) \right] =\exp(-gt)\cdot A\cdot \exp(gx)}\)
Zastanawiam się czemu wzięliśmy akurat eksponentę, przecież funkcja postaci \(\displaystyle{ f(x)=A\cdot B^{cx}}\) też spełnia warunek, żeby coś było funkcją własną.
To zagadnienie jest omawiane przy okazji omawiania twierdzenia Blocha.
Artut97 pisze:
Zastanawiam się czemu wzięliśmy akurat eksponentę
Dla wygody Pewnie już zdążyłeś zauważyć, że funkcja wykładnicza o podstawie \(\displaystyle{ e}\) jest trochę "ładniejsza" niż funkcje o innych podstawach.
Dzięki za odpowiedź.
Naprowadziłeś mnie na to, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) spełnia coś takiego: \(\displaystyle{ f(x)=A\cdot B^{-ikx}=A\cdot e^{-i\ln(B)kx}}\)
I teraz wydaje się być uzasadniona możliwość wybrania eksponenty dla wygody.
