aktywność promieniotwórcza

[kmarciniak1]

Mam problem z takim zadaniem z fizyki jądrowej( klasa 1 LO).
Próbka izotopu U238 o masie \(\displaystyle{ m=1g}\) emituje \(\displaystyle{ n=1,24 \cdot 10 ^{4}}\) cząstek \(\displaystyle{ \alpha}\) w czasie \(\displaystyle{ t=1s}\).Jaka jest aktywność promieniotwórcza i ile wynosi czas połowicznego zaniku tego izotopu?
Nie jestem pewny czy jest to potrzebne ale policzyłem liczbę atomów w tej próbce \(\displaystyle{ x=0,02529 \cdot 10 ^{23}}\)

Nie wiem do czego można wykorzystać informacje o wyemitowaniu cząstek \(\displaystyle{ \alpha}\)

[SlotaWoj]

Do wyznaczenia aktywności promieniotwórczej:

• \(\displaystyle{ A(t)=-\frac{dN}{dt}=\lambda\,N(t)}\)

a następnie do wyznaczenia czasu połowicznego rozpadu.

Uwaga: W zadaniu chodzi o taki rozpad: \(\displaystyle{ ^{238}\text{U}\rightarrow^{234}\text{Th}+\alpha}\)

[daras170]

To zadanie z 1 klasy LO , a więc można i należy je rozwiązywać prościej.
Aktywność próbki, to po prostu ilość rozpadów w ciągu jednej sekundy
\(\displaystyle{ A = \frac{\Delta N}{\Delta t}}\) = 12400 Bq tyle jąder uranu się rozpada w ciągu sekundy z ilości jaką policzyłeś,
teraz musisz oszacować po jakim czasie rozpadnie się połowa z nich:
\(\displaystyle{ N = \frac{N_o }{2^{t/T}}}\), gdzie \(\displaystyle{ N \approx \frac{mA}{u}}\), u -w jednostkach masy atomowej.

Uwaga: W zadaniu chodzi o taki rozpad: \(\displaystyle{ ^{238}\text{U}\rightarrow^{234}\text{Th}+\alpha}\)

Nie wiadomo o jaki konkretnie rozpad chodzi, jest mnóstwo możliwości ale ta kwestia nie jest clue tego zadania.

[kmarciniak1]

Po policzeniu \(\displaystyle{ N}\) ze wzoru \(\displaystyle{ N \approx \frac{m}{A \cdot u}}\)
i podstawieniu do wzoru na czas połowicznego rozpadu
\(\displaystyle{ \frac{N _{0} }{N} =2 ^{ \frac{t}{T} }}\)

wyszło mi, że
\(\displaystyle{ 1= \sqrt[T]{2}}\)

Jak z tego wybrnąć?

Podpowiedź w zbiorze mówi aby skorzystać z takiego wzoru:
\(\displaystyle{ T= \frac{0,693 \cdot m \cdot N_{a} \cdot t }{M \cdot n}}\) oraz \(\displaystyle{ M=A}\)

Skąd się bierze ten wzór?

[SlotaWoj]

\(\displaystyle{ 1 \text{ g }^{238}\text{U}}\) to \(\displaystyle{ 0,0042017 \text{ mola}}\) i zawiera \(\displaystyle{ N_0=2,53\cdot10^{21}}\) atomów.
Można przyjąć \(\displaystyle{ -\frac{dN}{dt}=\frac{\Delta N}{\Delta t}}\) tylko dlatego, że \(\displaystyle{ \Delta N(1)<\!\!<N_0}\) i z tego też względu można przyjąć, że obliczona aktywność \(\displaystyle{ A(1)=12400\text{ Bq}}\) jest aktywnością początkową \(\displaystyle{ A_0}\).

\(\displaystyle{ N \approx \frac{mA}{u}}\)

To nie jest prawdą, bo co dla \(\displaystyle{ A=0}\) ? Potrzebna jest liczba atomów która pozostała, a nie która uległa rozpadowi.

Nie wiadomo o jaki konkretnie rozpad chodzi, jest mnóstwo możliwości ale ta kwestia nie jest clue tego zadania.

Całę szczęście, że nie jest możliwy rozpad \(\displaystyle{ ^{238}\text{U}\rightarrow^{230}\text{Ra}+{\red{2}}\,\alpha}\). Jest tylko jedna możliwość.

W związku z tym, co napisałem wcześniej, będzie:

• \(\displaystyle{ \frac{\Delta N}{\Delta t}=A_0=\lambda\,N_0\quad\Rightarrow\quad\lambda=\frac{A_0}{N_0}}\)

Liczbę atomów, które po czasie \(\displaystyle{ t}\) jeszcze nie uległy rozpadowi opisuje funkcja:

• \(\displaystyle{ N(t)=N_0\,e^{-\lambda t}}\)

więc dla \(\displaystyle{ t=T_{1/2}}\) będzie:

• \(\displaystyle{ \frac{N_0}{N(T_{1/2})}=2=e^{\lambda T_{1/2}}\quad\Rightarrow\quad T_{1/2}=\frac{\ln2}{\lambda}}\)

Trzeba wiedzieć co to jest liczba \(\displaystyle{ e}\) i logarytmy i nie wiem, czy w 1 LO są to zagadnienia znane – być może autor zadania nieco się „wychylił”.

Podstawiając za \(\displaystyle{ \lambda}\) mamy:

• \(\displaystyle{ T_{1/2}=\frac{\ln2\cdot m\cdot N_A}{A_0\cdot\mu}}\)

gdzie \(\displaystyle{ \mu=0,238\text{ kg/mol}}\) to masa molowa \(\displaystyle{ ^{238}\text{U}}\) i w liczniku nie ma zmiennej \(\displaystyle{ t}\), lub:

• \(\displaystyle{ T_{1/2}=\frac{\ln2\cdot m\cdot N_A\cdot t}{\Delta N(t)\cdot\mu}}\)

gdzie \(\displaystyle{ \ln 2=0,693147}\)

Pikanterii dodaje fakt, że dla podanych danych (liczby wyemitowanych w pierwszej sekundzie cząstek \(\displaystyle{ \alpha}\)) obliczony czas połowicznego rozpadu wynosi \(\displaystyle{ 4,49\cdot10^{13}\text{ lat}}\), podczas gdy poprawną wartością jest \(\displaystyle{ 4,468\cdot10^9\text{ lat}}\). Pewnie powinno być: ... emituje \(\displaystyle{ 1,24\cdot10^8}\) cząstek \(\displaystyle{ \alpha}\)... .

[daras170]

Przepraszam za pomyłkę. A powinno być w mianowniku \(\displaystyle{ N \approx \frac{m}{Au}}\),
m - masa preparatu, A - liczba masowa, u -jednostka masy atomowej \(\displaystyle{ 1 u \approx 1,66054 \cdot 10^{-24} \ g}\). Wzór ten jest podawany w podręczniku wydawnictwa, które zaczyna kurs fizyki w liceum od budowy atomu i zagadnień fizyki jądrowej, właśnie po to żeby ominąć nieznajomość logarytmów na tym poziomie nauczania. A okres połowicznego rozpadu \(\displaystyle{ U^{238}}\) z tablic to 4,51 mld lat, typ rozpadu w zadaniu nie ma znaczenia.

[kmarciniak1]

Ten wzór :
\(\displaystyle{ N(t)=N_0\,e^{-\lambda t}}\)

znajduje się w moim zbiorze .Oczywiście bez żadnego wgłębiania się co to jest liczba \(\displaystyle{ e}\) po prostu podana jest przybliżona wartość i że to jest stała matematyczna.
Tuż poniżej jest również taki wzór.
\(\displaystyle{ \lambda= \frac{0,693}{T}}\) i o ile dobrze rozumiem jest to uproszczona wersja wzoru \(\displaystyle{ T_{1/2}=\frac{\ln2}{\lambda}}\) który podałeś.

Nie będe ukrywał, że nie rozumiem niektórych przejść w twoim rozwiązaniu, ale myślę, że jakis ogólny pogląd mi się wyklarował.


Ciekawe jest też to, że podstawy programowe są niezbyt zbilansowane ze sobą eufemistycznie mówiąc.
Na lekcji chemii nigdy nie usłyszałem o czymś takim jak masa molowa a na fizyce pan myślał, że już to umiemy i właściwie tego nam nie tłumaczył.Jeszcze więcej cięć materiału

[SlotaWoj]

Uważam za nieporozumienie podawanie wzorów, gdy nie można (na danym etapie kształcenia) wyjaśnić skąd one się wzięły.
Gdybym redagował ten podręcznik, to w I LO budowę atomu ograniczyłbym do liczby nukleonów i elektronów, masy molowej, izotopów (pobieżnie), liczby Avogadra i konfiguracji elektronów na ostatniej powłoce, a bardziej szczegółowe zagadnienia (liczby kwantowe) i całą fizykę jądrową przedstawiłby w klasie III.
A typ rozpadu podałem, aby KMarciniak1 wiedział, że rozpad jednego atomu \(\displaystyle{ ^{238}\text{U}}\) daje jedną cząstkę \(\displaystyle{ \alpha}\), a nie dwie lub więcej.

@KMarciniak1
Jeśli nie masz dobrych nauczycieli, a chcesz się więcej (lub porządniej) nauczyć, to bardziej licz na siebie, Wikipedię i inne źródła internetowe (czasami trzeba zachować ostrożność) no i na forum matematyka.pl.

[kmarciniak1]

Uważam za nieporozumienie podawanie wzorów, gdy nie można (na danym etapie kształcenia) wyjaśnić skąd one się wzięły.
Gdybym redagował ten podręcznik, to w I LO budowę atomu ograniczyłbym do liczby nukleonów i elektronów, masy molowej, izotopów (pobieżnie), liczby Avogadra i konfiguracji elektronów na ostatniej powłoce, a bardziej szczegółowe zagadnienia (liczby kwantowe) i całą fizykę jądrową przedstawiłby w klasie III.

Żeby sprostować to napiszę, że te wzory, które podałem znajdują się w zbiorze zadań a nie podręczniku.Zbiór jest przeznaczony raczej do osób które planują wybrać fizykę jako przedmiot rozszerzony.

A typ rozpadu podałem, aby KMarciniak1 wiedział, że rozpad jednego atomu \(\displaystyle{ ^{238}\text{U}}\) daje jedną cząstkę \(\displaystyle{ \alpha}\), a nie dwie lub więcej.

Reakcje jądrowe(rozpad \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\)) są w 1 klasie liceum

[SlotaWoj]

Nawet gdyby ww. zbiór zadań powoływał się na jakiś podręcznik, to przedstawianie zagadnień, gdy nie są znane (jeszcze) pewne podstawy matematyczne (funkcje wykładnicza i logarytmiczna, rachunek różniczkowy) jest niewłaściwe.