Solenoid i natężenie pola w całej przestrzeni.

[Pentulum]

Niech przez długi solenoid o promieniu \(\displaystyle{ a}\) i liczbie zwojów na jednostkę długości \(\displaystyle{ n}\) płynie prąd o zmiennym w czasie natężeniu \(\displaystyle{ I(t)}\) (wybierzmy układ współrzędnych tak by prąd okrążał solenoid zgodnie z kierunkiem wyznaczanym przez wersor \(\displaystyle{ \hat{\phi}}\)). Wyznaczyć wektor natężenie pola elektrycznego \(\displaystyle{ \vec{E(t)}}\) w całej przestrzeni.

[janusz47]

\(\displaystyle{ \oint Edl = E(s_{0})\cdot l - E(s)\cdot l = -\frac{d}{dt} \int \vec{B}\cdot d\vec{a} = -\frac{\mu_{0}\cdot n \hat{\phi}}{2\pi a }\frac{dI}{dt}\int_{s_{0}}^{s}\frac{1}{s'}ds' = -\frac{\mu_{0}\cdot n}{2\pi a } \frac{dI}{dt} \left[\ln (s) - \ln(s_{0})\right] \cdot \hat{\phi}. }\)

Stąd

\(\displaystyle{ \vec{E}(t) = \left( \frac{\mu_{0} \cdot n}{2\pi a}\frac{dI(t)}{dt}\ln(s) + C \right)\cdot \hat{\phi} }\)

gdzie:

\(\displaystyle{ C = \ln(s_{0}) }\)

Uwaga

Natężenie pola \(\displaystyle{ \vec{E}}\) rośnie gdy \(\displaystyle{ s\rightarrow \infty.}\)

To nie jest prawda, bo dla dużych odległości - indukcja magnetyczna \(\displaystyle{ \vec{B} }\) nie zależy od aktualnego natężenia prądu ale od wartości natężenia w chwili wcześniejszej. Innymi słowy od przedziału czasu.

Jeśli przez \(\displaystyle{ \Delta t }\) oznaczamy czas zmiany natężenia prądu to rozwiązanie jest poprawne dla odległości \(\displaystyle{ s<< c\cdot \Delta t.}\) Jest to tzw. przybliżenie quasi-statyczne.