Równanie Poissona
-
- Użytkownik
- Posty: 26
- Rejestracja: 18 maja 2021, o 18:20
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 15 razy
Równanie Poissona
Korzystając z równania Poissona obliczyć potencjał wewnątrz jednorodnie naładowanej kuli o promieniu \(\displaystyle{ R}\), jeżeli całkowity ładunek wynosi \(\displaystyle{ q}\).
Ostatnio zmieniony 31 paź 2021, o 02:31 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Równanie Poissona
Równanie Poissona dla wnętrza kuli
\(\displaystyle{ \nabla^2 \phi = -\frac{\rho_{V}}{\epsilon_{d}}. }\)
Na zewnątrz kuli równanie Poissona przechodzi w równanie Laplace'a
\(\displaystyle{ \nabla^2 \phi = 0. }\)
Wyrażając operator Laplace'a \(\displaystyle{ \nabla ^2 }\) we współrzędnych kulistych i uwzględniając symetrię kulistą potencjału tzn. \(\displaystyle{ \left( \frac{ \partial \phi}{\partial \theta} = 0, \ \ \frac{\partial \phi}{\partial \psi} = 0 \right),}\) otrzymujemy równanie różniczkowe
\(\displaystyle{ \frac{1}{r^2} \left[\frac{\partial}{\partial r} \left (r^2 \frac{\partial \phi}{\partial r}\right) \right] = \frac{1}{r^2}\left[ \frac{d}{dr}\left( r^2 \frac{d \phi}{dr}\right)\right] = -\frac{\rho_{V}}{\epsilon_{d}}. }\)
Proszę
-pomnożyć to równanie obustronnie przez \(\displaystyle{ r^2,}\)
-scałkować po \(\displaystyle{ dr, }\)
- stałą \(\displaystyle{ C }\) wyznaczyć z warunku granicznego: " dla \(\displaystyle{ r \rightarrow 0 }\) potencjał nie może dążyć do nieskończoności".
- skorzystać z definicji gęstości objętościowej dla jednorodnie naładowanej kuli \(\displaystyle{ \rho_{V} = \frac{q}{V}, \ \ V = \ \ ... }\) objętość kuli.
\(\displaystyle{ \nabla^2 \phi = -\frac{\rho_{V}}{\epsilon_{d}}. }\)
Na zewnątrz kuli równanie Poissona przechodzi w równanie Laplace'a
\(\displaystyle{ \nabla^2 \phi = 0. }\)
Wyrażając operator Laplace'a \(\displaystyle{ \nabla ^2 }\) we współrzędnych kulistych i uwzględniając symetrię kulistą potencjału tzn. \(\displaystyle{ \left( \frac{ \partial \phi}{\partial \theta} = 0, \ \ \frac{\partial \phi}{\partial \psi} = 0 \right),}\) otrzymujemy równanie różniczkowe
\(\displaystyle{ \frac{1}{r^2} \left[\frac{\partial}{\partial r} \left (r^2 \frac{\partial \phi}{\partial r}\right) \right] = \frac{1}{r^2}\left[ \frac{d}{dr}\left( r^2 \frac{d \phi}{dr}\right)\right] = -\frac{\rho_{V}}{\epsilon_{d}}. }\)
Proszę
-pomnożyć to równanie obustronnie przez \(\displaystyle{ r^2,}\)
-scałkować po \(\displaystyle{ dr, }\)
- stałą \(\displaystyle{ C }\) wyznaczyć z warunku granicznego: " dla \(\displaystyle{ r \rightarrow 0 }\) potencjał nie może dążyć do nieskończoności".
- skorzystać z definicji gęstości objętościowej dla jednorodnie naładowanej kuli \(\displaystyle{ \rho_{V} = \frac{q}{V}, \ \ V = \ \ ... }\) objętość kuli.