Równanie Poissona

Pole elektryczne i elektrostatyczne. Oddziaływania magnetyczne i siła elektrodynamiczna. Prąd stały i prąd zmienny.
Pentulum
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 18 maja 2021, o 18:20
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 15 razy

Równanie Poissona

Post autor: Pentulum »

Korzystając z równania Poissona obliczyć potencjał wewnątrz jednorodnie naładowanej kuli o promieniu \(\displaystyle{ R}\), jeżeli całkowity ładunek wynosi \(\displaystyle{ q}\).
Ostatnio zmieniony 31 paź 2021, o 02:31 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Równanie Poissona

Post autor: janusz47 »

Równanie Poissona dla wnętrza kuli

\(\displaystyle{ \nabla^2 \phi = -\frac{\rho_{V}}{\epsilon_{d}}. }\)

Na zewnątrz kuli równanie Poissona przechodzi w równanie Laplace'a

\(\displaystyle{ \nabla^2 \phi = 0. }\)

Wyrażając operator Laplace'a \(\displaystyle{ \nabla ^2 }\) we współrzędnych kulistych i uwzględniając symetrię kulistą potencjału tzn. \(\displaystyle{ \left( \frac{ \partial \phi}{\partial \theta} = 0, \ \ \frac{\partial \phi}{\partial \psi} = 0 \right),}\) otrzymujemy równanie różniczkowe

\(\displaystyle{ \frac{1}{r^2} \left[\frac{\partial}{\partial r} \left (r^2 \frac{\partial \phi}{\partial r}\right) \right] = \frac{1}{r^2}\left[ \frac{d}{dr}\left( r^2 \frac{d \phi}{dr}\right)\right] = -\frac{\rho_{V}}{\epsilon_{d}}. }\)

Proszę
-pomnożyć to równanie obustronnie przez \(\displaystyle{ r^2,}\)

-scałkować po \(\displaystyle{ dr, }\)

- stałą \(\displaystyle{ C }\) wyznaczyć z warunku granicznego: " dla \(\displaystyle{ r \rightarrow 0 }\) potencjał nie może dążyć do nieskończoności".

- skorzystać z definicji gęstości objętościowej dla jednorodnie naładowanej kuli \(\displaystyle{ \rho_{V} = \frac{q}{V}, \ \ V = \ \ ... }\) objętość kuli.
ODPOWIEDZ