Obwód prądu stałego

Pole elektryczne i elektrostatyczne. Oddziaływania magnetyczne i siła elektrodynamiczna. Prąd stały i prąd zmienny.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Obwód prądu stałego

Post autor: janusz47 »

W drugiej części zbioru zadań z fizyką w przyszłość - zakres rozszerzony znajduje się zadanie 10.35 następującej treści:

Na schemacie poniżej przedstawiono obwód, w którym pomiędzy punktami \(\displaystyle{ A, B }\) przyłożono napięcie \(\displaystyle{ U = 18V.}\)

\(\displaystyle{ \ \ A_{1}, \ \ A_{2}, \ \ A_{3}, \ \ A_{4} }\) to amperomierze o pomijalnie małych oporach.

Proszę obliczyć:

a)
opór pomiędzy punktami \(\displaystyle{ A,\ \ B, }\)

b)
natężenie prądu wskazywane przez amperomierze \(\displaystyle{ A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, }\)

c)
napięcie, które wskaże woltomierz o bardzo dużym oporze włączony kolejno pomiędzy punkty: \(\displaystyle{ A-C,\ \ B-D, \ \ D-E, \ \ B-E. }\)

Analiza zadania

W celu przeprowadzenia analizy obwodu i dokonania obliczeń, musimy najpierw zmienić ten obwód na obwód równoważny, tak aby jego analiza była bardziej czytelna.

Schemat równoważy obwodu (przepraszam za niezbyt starannie wykonany na prędce rysunek)

patrz


a)

Obliczamy opór zastępczy \(\displaystyle{ R }\) obwodu, korzystając ze znanych wzorów na połączenia szeregowe i równoległe oporników.

Połączenie szeregowe:

\(\displaystyle{ R_{1-2} = R_{1} + R_{2} = 3\Omega + 9 \Omega = 12 \Omega. }\)

Połączenie równoległe:

\(\displaystyle{ \frac{1}{R_{1-2-3}} = \frac{1}{R_{1-2}} + \frac{1}{R_{3}} =\frac{1}{12\Omega} + \frac{1}{6\Omega} = \frac{3}{12\Omega } = \frac{1}{4\Omega}}\)

\(\displaystyle{ R_{1-2-3} = 4 \Omega. }\)

Połączenie równoległe

\(\displaystyle{ \frac{1}{R_{4-5}} = \frac{1}{R_{4}} + \frac{1}{R_{5}} = \frac{1}{12\Omega} + \frac{1}{6\Omega} = \frac{1}{4\Omega}}\)

\(\displaystyle{ R_{4-5} = 4\Omega.}\)

Połączenie szeregowe (górna gałąź obwodu)

\(\displaystyle{ R_{1-2-3-4-5-6} = R_{1-2-3} + R_{4-5} + R_{6} = 4\Omega + 4\Omega + 16\Omega = 24\Omega.}\)

Połączenie równoległe

\(\displaystyle{ \frac{1}{R_{9-10}} = \frac{1}{R_{9}} + \frac{1}{R_{10}} = \frac{1}{18\Omega} + \frac{1}{9\Omega} = \frac{3}{18\Omega} = \frac{1}{6\Omega} }\)

\(\displaystyle{ R_{9-10} = 6\Omega. }\)

Połączenie szeregowe

\(\displaystyle{ R_{8-9-10} = R_{8} + R_{9-10} = 6\Omega + 6\Omega = 12 \Omega. }\)

Opór zastępczy układu - połączenie równoległe górnej i dolnej gałęzi oraz opornika \(\displaystyle{ R_{7}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1-2-3-4-5-6}} + \frac{1}{R_{7}} + \frac{1}{R_{8-9-10}} = \frac{1}{24\Omega} +\frac{1}{24\Omega} + \frac{1}{12\Omega}= \frac{4}{24\Omega} = \frac{1}{6\Omega}. }\)

\(\displaystyle{ R = 6\Omega.}\)

b)

Z Prawa Ohma natężenie prądu

\(\displaystyle{ I_{7} = \frac{U_{7}}{R_{7}} = \frac{U}{R_{7}} = \frac{18 V}{24 \Omega} = \frac{3}{4} A }\) (wskazanie amperomierza \(\displaystyle{ A_{3}}\)).

Z połączenia równoległego oporników \(\displaystyle{ R_{9}, \ \ R_{10} }\) wynika równość napięć

\(\displaystyle{ U_{10} = U_{9} }\)

\(\displaystyle{ I_{10}\cdot R_{10} = I_{9}\cdot R_{9}. }\)

Stąd
\(\displaystyle{ I_{10} = \frac{I_{9} \cdot R_{9}}{R_{10}} \ \ (1) }\)

Oporniki \(\displaystyle{ R_{9}, R_{10} }\) połączone są równolegle i szeregowo z opornikiem \(\displaystyle{ R_{8} }\)

więc

\(\displaystyle{ U_{8} + U_{9} = U_{7} = U_{AB} = U, }\)

stąd

\(\displaystyle{ I_{8}\cdot R_{8} + I_{9}\cdot R_{9} = U }\)

\(\displaystyle{ I_{8}\cdot R_{8} = U - I_{9}\cdot R_{9} }\)

\(\displaystyle{ I_{8} = \frac{U}{R_{8}} - \frac{I_{9}}{R_{8}}\cdot R_{9} \ \ (2) }\)

Na podstawie pierwszego prawa Kirchhoffa dla węzła \(\displaystyle{ C }\)

\(\displaystyle{ I_{8} = I_{9} + I_{10} }\)

Z \(\displaystyle{ (2), \ \ (1) }\)

\(\displaystyle{ \frac{U}{R_{8}} - \frac{I_{9}}{R_{8}}\cdot R_{9} = I_{9} + \frac{I_{9} \cdot R_{9}}{R_{10}} }\)

\(\displaystyle{ \frac{U}{R_{8}} = I_{9}\left( 1 + \frac{R_{9}}{R_{8}} + \frac{R_{9}}{R_{10}}\right) }\)

\(\displaystyle{ \frac{U}{R_{8}} = I_{9}\left( \frac{R_{8}\cdot R_{10} + R_{9}\cdot R_{10} + R_{8}\cdot R_{9}}{R_{8}\cdot R_{10}}\right) }\)

\(\displaystyle{ I_{9} = \frac{U\cdot R_{10}}{R_{8}\cdot R_{10} + R_{9}\cdot R_{10} +R_{8}\cdot R_{9}} }\)

\(\displaystyle{ I_{9} = \frac{18V \cdot 9\Omega}{6\Omega \cdot 9\Omega + 18\Omega \cdot 9\Omega + 6\Omega \cdot 18\Omega} = 0,5 A }\) (wskazania amperomierza \(\displaystyle{ A_{4} }\)).

Na podstawie \(\displaystyle{ (2)}\)

\(\displaystyle{ I_{8} = \frac{U}{R_{8}} - I_{9}\frac{R_{9}}{R_{8}} = \frac{18V}{6\Omega} - 0,5A\cdot \frac{18\Omega}{6\Omega}= 1,5A. }\)

Natężenie prądu \(\displaystyle{ I }\) płynącego w obwodzie

\(\displaystyle{ I = \frac{U}{R} = \frac{18V}{6\Omega} = 3A }\)

Z pierwszego prawa Kirchhoffa dla węzła \(\displaystyle{ B }\)

\(\displaystyle{ I_{6} + I_{7} + I_{8} = I }\)

\(\displaystyle{ I_{6} = I - I_{7} - I_{8} = 3A -0,75 A - 1,5 A = 0,75 A.}\)

Z połączenia równoległego oporników wynika, że

\(\displaystyle{ U_{4} = U_{5} }\)

\(\displaystyle{ I_{4} \cdot R_{4} = I_{5}\cdot R_{5} }\)

\(\displaystyle{ I_{4} = I_{5}\cdot \frac{R_{5}}{R_{4}} \ \ (3) }\)

Z pierwszego prawa Kirchhoffa

\(\displaystyle{ I_{4} + I_{5} = I_{6} }\)

Z \(\displaystyle{ (3) }\)

\(\displaystyle{ I_{5}\cdot \frac{R_{5}}{R_{4}} + I_{5} = I_{6} |\cdot R_{4} }\)

\(\displaystyle{ I_{5}\cdot R_{5} +I_{5}\cdot R_{4} = I_{6}\cdot R_{4} }\)

\(\displaystyle{ I_{5}(R_{4}+R_{5}) = I_{6}\cdot R_{4} }\)

\(\displaystyle{ I_{5} = I_{6}\cdot \frac{R_{4}}{R_{4} + R_{5}} = 0,75 A \cdot \frac{12\Omega}{12\Omega +6\Omega} = 0,5 A }\) (wskazania amperomierza \(\displaystyle{ A_{2} }\)).

Z połączenia szeregowego oporników \(\displaystyle{ R_{1}, R_{2} }\) i równoległego z \(\displaystyle{ R_{3} }\) wynika, że

\(\displaystyle{ U_{3} = U_{1} + U_{2} }\)

\(\displaystyle{ I_{3}\cdot R_{3} = I_{1}\cdot R_{1}+I_{2} \cdot R_{2} }\)

\(\displaystyle{ I_{3}\cdot R_{3} = I_{1}\cdot R_{1} + I_{1} \cdot R_{2} }\)

\(\displaystyle{ I_{3}\cdot R_{3} = I_{1}( R_{1} + R_{2}) }\)

\(\displaystyle{ I_{3} = I_{1}\cdot \frac{R_{1}+R_{2}}{R_{3}} \ \ (4)}\)

Na podstawie pierwszego prawa Kirchoffa

\(\displaystyle{ I_{6} = I_{1} + I_{3} }\)

Z \(\displaystyle{ (4) }\)

\(\displaystyle{ I_{6} = I_{1} + I_{1}\cdot \frac{R_{1}+R_{2}}{R_{3}} |\cdot R_{3}}\)

\(\displaystyle{ I_{6}\cdot R_{3} = I_{1}\cdot R_{3} + I_{1}(R_{1} + R_{2}) }\)

\(\displaystyle{ I_{6}\cdot R_{3} = I_{1}(R_{1}+R_{2}+ R_{3} ) }\)

\(\displaystyle{ I_{1} = I_{6}\cdot \frac{R_{3}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}} = 0,75A \cdot \frac{6\Omega}{3\Omega + 9\Omega + 6\Omega}= 0,25 A}\) (wskazania amperomierza \(\displaystyle{ A_{1} ).}\)

Pozostał do rozwiązania punkt (c).

Ze względu na późną porę przedstawię rozwiązanie jutro.

Dodano po 10 godzinach 25 minutach 31 sekundach:
c)

\(\displaystyle{ U_{A-C}:}\)

Rozpatrujemy odcinek obwodu \(\displaystyle{ \overline{AC} }\)

Na podstawie prawa Ohma

\(\displaystyle{ U_{A-C} = I_{8} \cdot R_{8} = 1,5 A \cdot 6 \cdot 6\Omega = 9 V. }\)

\(\displaystyle{ U_{D-B}:}\)

Zauważmy, że napięcie \(\displaystyle{ U_{D-B} }\) jest sumą spadku napięć:

\(\displaystyle{ U_{D-B} = U_{D-E} + U_{E-B} \ \ (5) }\)

\(\displaystyle{ U_{D-E} = I_{2}\cdot R_{2} = 0,25A \cdot 9\Omega = 2,25 V. }\)

\(\displaystyle{ U_{E-B} = I_{6}\cdot R_{4-5-6}}\)

Opór zastępczy:

\(\displaystyle{ R_{4-5-6} = R_{4-5} + R_{6} \ \ (5) }\)

Oporniki \(\displaystyle{ R_{4},\ \ R_{5} }\) połączone są równolegle, więc

\(\displaystyle{ \frac{1}{R_{4-5}} = \frac{1}{R_{4}} + \frac{1}{R_{5}} = \frac{1}{6\Omega} + \frac{1}{12\Omega} = \frac{3}{12\Omega} = \frac{1}{4\Omega}}\)

\(\displaystyle{ R_{4-5} = 4\Omega }\)

\(\displaystyle{ R_{4-5-6} = 4\Omega + 16 \Omega = 20 \Omega. }\)

\(\displaystyle{ U_{E-B} = 0,75 A \cdot 20 \Omega = 15 V.}\)

Na podstawie \(\displaystyle{ (5) }\)

\(\displaystyle{ U_{D-B} = 2,25 V + 15 V = 17,25 V.}\)

\(\displaystyle{ U_{D-E} :}\)

\(\displaystyle{ U_{D-E} = I_{2}\cdot R_{2} = 0,25 A \cdot 9\Omega = 2,25 V. }\)

\(\displaystyle{ U_{B-E}: }\)

\(\displaystyle{ U_{B-E} = I_{6} \cdot R_{4-5-6} = 0,75 A \cdot 20 \Omega = 15 V.}\)


Do rozwiązania obwodu mogliśmy od razu zastosować pierwsze prawo Kirchhoffa dla węzłów \(\displaystyle{ A,B.C,D,E }\) i drugie prawo Kirchoffa dla oczek układu.
Rozwiązać w ten sposób otrzymany układ równań, obliczając wartości natężeń prądów i spadku napięć.

Ze względu na brak takiego podejścia w podręczniku z fizyką w przyszłość część druga - zakres rozszerzony, postanowiłem przeanalizować ten obwód "kawałek po kawałku".
ODPOWIEDZ