Strumień indukcji magnetycznej

Pole elektryczne i elektrostatyczne. Oddziaływania magnetyczne i siła elektrodynamiczna. Prąd stały i prąd zmienny.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Strumień indukcji magnetycznej

Post autor: janusz47 »

W zbiorze zadań z fizyką w przyszłość część 2 zakres rozszerzony znajduje się zadanie (11.40) następującej treści:

Powierzchnię obwodu w kształcie kwadratu o boku \(\displaystyle{ a = 10\ \ cm }\) przecinają prostopadle do niej linie jednorodnego pola magnetycznego. Wartość indukcji pola zmienia się wraz z upływem czasu następująco:

\(\displaystyle{ B(t) = 0,02 T + 0,03\frac{T}{s}\cdot t \ \ (0) }\)

a)
Proszę rozstrzygnąć czy prędkość zmian strumienia indukcji magnetycznej objętego obwodem jest stała w czasie, czy ulega zmianie.
Podaj uzasadnienie odpowiedzi.

b)
Proszę obliczyć zmianę strumienia indukcji magnetycznej (przechodzącego przez powierzchnię obwodu) w ciągu 4 sekund.

Analiza zadania

Strumieniem wektora indukcji magnetycznej (strumienia magnetycznego) \(\displaystyle{ \Phi }\) jednorodnego pola magnetycznego przechodzącego przez powierzchnię płaską \(\displaystyle{ \vec{S}}\) nazywamy iloczyn skalarny

\(\displaystyle{ \Phi = \vec{B}\cdot \vec{S} = B \cdot S\cdot \cos(|\angle \vec{B},\vec{S}|) \ \ (1)}\)

\(\displaystyle{ \vec{S} }\) jest wektorem prostopadłym do powierzchni \(\displaystyle{ S, }\) jego wartość jest równa polu powierzchni wyrażonej w odpowiednich jednostkach.

Jednostką strumienia magnetycznego w układzie \(\displaystyle{ SI }\) jest Weber ( 1Wb):

\(\displaystyle{ 1 Wb = 1T \cdot 1 m^2 }\).

Wartość prędkości zmian \(\displaystyle{ v }\) strumienia magnetycznego w czasie jest ilorazem

\(\displaystyle{ v(t) = \frac{\Phi (t)}{t}. }\)

Rozwiązanie

a)
Z treści zadania wynika, że linie jednorodnego pola magnetycznego są prostopadłe do zamkniętej powierzchni ramki, czyli równoległe do wektora powierzchni.

Stąd

\(\displaystyle{ |\angle \vec{B},\vec{S}|= 0^{o} \ \ (2)}\)

Na podstawie równań \(\displaystyle{ (1), \ \ (2) }\)

\(\displaystyle{ \Phi = \vec{B}\cdot \vec{S} = B \cdot S \cdot \cos(0^{o}) = B \cdot S \cdot 1 = B\cdot S \ \ (3) }\)

gdzie

\(\displaystyle{ S = a^2. }\)

Z równania \(\displaystyle{ (0) }\) wynika, że wartość wektora indukcji zmienia się w czasie według zależności

\(\displaystyle{ \mathcal{B}(t) = 0,03\frac{T}{s}\cdot t }\) (składnik równania \(\displaystyle{ (0), \ \ 0,02 T }\) jest stały - nie zmienia się w czasie),

więc na podstawie \(\displaystyle{ (3) }\)

\(\displaystyle{ \Phi = 0,03\frac{T}{s}\cdot t \cdot a^2 }\)

i wartość prędkości zmian strumienia

\(\displaystyle{ v(t) = \frac{\Phi(t)}{t} = \frac{ 0,03\frac{T}{s}\cdot t \cdot a^2}{t} = 0,03 \frac{T}{s} \cdot a^2 }\)

\(\displaystyle{ v (t)= 0,03 \frac{T}{s}\cdot (0,1)^2 (m)^2 = 0,0003 \frac{T \cdot m^2}{s} = 3\cdot 10^{-4} \frac{Wb}{s} }\)

Prędkość zmian strumienia indukcji magnetycznej objętego obwodem jest stała w czasie.

b)
Na podstawie powyższych rozważań, zmiana strumienia indukcji magnetycznej \(\displaystyle{ \Delta \Phi }\) przechodzącego przez powierzchnię zamkniętą obwodu w ciągu \(\displaystyle{ t }\) sekund jest równa

\(\displaystyle{ \Delta \Phi = B\cdot S \cdot t }\)

\(\displaystyle{ \Delta \Phi = 0,03 \left( \frac{T}{s}\right) \cdot (0,1)^2 (m^2) \cdot 4 (s) = 0,0012 T \cdot m^2 = 1,2 \cdot 10^{-3} Wb.}\)

Dodano po 20 minutach 16 sekundach:
Wzory na wartość prędkości zmian i zmianę strumienia wektora indukcji, \(\displaystyle{ v = \frac{\phi}{t}, \ \ \Delta \Phi = B\cdot S \cdot t }\) są słuszne tylko dla pola magnetycznego jednorodnego i stałej wartości wektora powierzchni \(\displaystyle{ S. }\)
W przypadku ogólnym musimy posłużyć się rachunkiem całkowym.
ODPOWIEDZ