Skok linii śrubowej toru protonu w cyklotronie

Pole elektryczne i elektrostatyczne. Oddziaływania magnetyczne i siła elektrodynamiczna. Prąd stały i prąd zmienny.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Skok linii śrubowej toru protonu w cyklotronie

Post autor: janusz47 »

W podręczniku z fizyką w przyszłość dla szkół ponadgimnazjalnych zakres rozszerzony część 2 znajduje się następujące zadanie:

Proton wlatuje w jednorodne pole magnetyczne o indukcji \(\displaystyle{ \vec{B} }\) z prędkością \(\displaystyle{ \vec{v} }\) zwróconą pod kątem \(\displaystyle{ \alpha }\) do linii pola.

Proszę obliczyć skok linii śrubowej \(\displaystyle{ h }\) po której porusza się proton.

Analiza zadania

Na proton poruszający się w polu magnetycznym działa siła Lorentza, której wartość

\(\displaystyle{ F_{\perp} = q\cdot v \cdot B \cdot sin(\alpha) }\)

Wektor tej siły jest prostopadły do wektora indukcji i wektora prędkości.

W kierunku pola na proton nie działa siła - proton porusza się ze stałą prędkością \(\displaystyle{ v_{||}= v\cos(\alpha). }\)

Siła Lorentza \(\displaystyle{ F_{\perp} = q \cdot v \cdot B\sin(\alpha)}\) stale prostopadła do kierunku prędkości, spełnia rolę siły dośrodkowej \(\displaystyle{ F_{d}. }\)

W rezultacie proton porusza się po linii śrubowej o promieniu \(\displaystyle{ R }\) i skoku \(\displaystyle{ h.}\)


Rozwiązanie

Z równości \(\displaystyle{ F_{\perp} = F_{d} }\)

otrzymujemy

\(\displaystyle{ q\cdot v \cdot \sin(\alpha) \cdot B = \frac{m\cdot (v\cdot \sin(\alpha))^2}{R} }\)

\(\displaystyle{ R }\) jest promieniem wewnętrznym duantów cyklotronu.

\(\displaystyle{ v = \frac{q \cdot B \cdot R}{m \sin(\alpha)} \ \ (1)}\)

Czas jednego obiegu protonu po okręgu wynosi

\(\displaystyle{ T = \frac{2 \pi \cdot R}{v \cdot \sin(\alpha)} }\)

Na podstawie \(\displaystyle{ (1) }\)

\(\displaystyle{ T = \frac{2\pi \cdot m}{q \cdot B} }\)

Równocześnie proton porusza się wzdłuż linii sił pola magnetycznego z prędkością \(\displaystyle{ v_{||}= v\cos(\alpha) }\)

Wartość skoku linii śrubowej jest więc równa

\(\displaystyle{ h = T \cdot v\cdot \cos(\alpha) = \frac{2\pi \cdot m \cdot v }{q \cdot B}\cdot \cos(\alpha) \ \ (2) }\)

Przykład

Obliczymy wartość liczbową skoku \(\displaystyle{ h }\) dla indukcji pola magnetycznego \(\displaystyle{ B = 1T }\), napięcia przyśpieszającego \(\displaystyle{ U = 10^5 V }\) oraz miary kąta \(\displaystyle{ \alpha = 60^{o}. }\)

Przyjmujemy:

\(\displaystyle{ q = e = 1,60 \cdot 10^{-19} C }\)- ładunek protonu

\(\displaystyle{ m = 1,67\cdot 10^{-27} kg. }\) - masa protonu.

Podstawiamy w równaniu \(\displaystyle{ (2) }\) prędkość \(\displaystyle{ v }\) protonu w zależności od napięcia przyśpieszającego \(\displaystyle{ U }\)

\(\displaystyle{ v = \sqrt{\frac{2 e\cdot U}{m}}. }\)

\(\displaystyle{ h = \frac{2\pi \cdot m \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot e\cdot U}{m}}} {q \cdot B} \cos(\alpha) = \frac{2\pi\sqrt{2\cdot m \cdot e \cdot U}}{e \cdot B}\cdot \cos(\alpha)}\)

\(\displaystyle{ h = \frac{6,28 \cdot \sqrt{ 2\cdot 1,67 \cdot 10^{-27} (kg)\cdot 1,60\cdot 10^{-19} (C) \cdot 10^5 (V)}}{1,60\cdot 10 ^{-19}(C)\cdot 1 (T)} \cdot \cos(60^{o})}\)

\(\displaystyle{ h = \frac{ 6,28\cdot \sqrt{2\cdot 1,67 \cdot 1,60 \cdot 10^{-41} \left(kg \cdot C \cdot \frac{\frac{kg \cdot m^2}{s^2}}{C}\right)}}{1,60\cdot 10^{-19}\cdot 1\left( C\cdot \frac{\frac{kg}{s}}{C} \right)}\cdot 0,5 = 0,14 \ \ m. }\)
ODPOWIEDZ