Energia fali elektromagnetycznej płaskiej

Pole elektryczne i elektrostatyczne. Oddziaływania magnetyczne i siła elektrodynamiczna. Prąd stały i prąd zmienny.
Nuna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 7 gru 2019, o 19:36
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 58 razy

Energia fali elektromagnetycznej płaskiej

Post autor: Nuna »

Mam problem z jednym zadaniem:

Wyznacz gęstość energii i jej średnią wartość (uśrednioną po czasie wartość), wektor Poyntinga \(\displaystyle{ \frac{1}{\mu_{0}}\overline{E}\times\overline{B} }\), jego wartość oraz wartość średnią dla fali płaskiej danej równaniami \(\displaystyle{ \overline{E}(\overline{r}, t)=\overline{E_{m}}e^{i(\overline{k}\overline{r}-\omega t)}}\) oraz \(\displaystyle{ \overline{B}(\overline{r}, t)=\overline{B_{m}}e^{i(\overline{k}\overline{r}-\omega t)}}\).

Założyłam, że fala rozchodzi się w kierunku \(\displaystyle{ x}\), więc równania przechodzą na:
\(\displaystyle{ \overline{E}(x,t)=\overline{E_{m}}e^{i(kx-\omega t)}}\)
\(\displaystyle{ \overline{B}(x,t)=\overline{B_{m}}e^{i(kx-\omega t)}}\)

Całkowita gęstość będzie wynosić:
\(\displaystyle{ u=\varepsilon_{0}E^{2}=\varepsilon_{0}e^{2i(kx-\omega t)}E_{m}^{2}}\)

Teraz trzeba jakoś uśrednić \(\displaystyle{ e^{2i(kx-\omega t)}}\) po czasie. Obliczam całkę
\(\displaystyle{ \frac{1}{T}\int_{0}^{T} e^{2i(kx-\omega t)}dt=\frac{1}{T}e^{2i(kx)}\int_{0}^{T} e^{2i(-\omega t)}dt=0}\)

Czyli średnia wartość gęstości energii \(\displaystyle{ <u> =0}\).

Wektor Poyntinga:
\(\displaystyle{ \overline{S}=\frac{1}{c\mu_{0}}E_{m}^{2}\overline{i}}\)

Dla jego średniej wartości analogiczna całka.

Dobrze myślę czy gdzieś tu jest coś nie tak?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Energia fali elektromagnetycznej płaskiej

Post autor: janusz47 »

Średnia wartość gęstości energii sinusoidalnej fali płaskiej w kierunku osi \(\displaystyle{ Ox }\)

\(\displaystyle{ \langle u \rangle = \vec{\overline{E}} = \varepsilon_{0} \cdot \vec{E}^2_{m} \cdot \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \cos^2(kt -\omega t)dt = \frac{1}{2}\varepsilon_{0} \cdot \vec{E}^2_{m},}\)

bo wartość średnia względem czasu funkcji \(\displaystyle{ \cos^2(kx -\omega t) }\) jest równa \(\displaystyle{ \frac{1}{2}.}\)

Wektor Poyntinga

\(\displaystyle{ \vec{\Pi} = \frac{1}{\mu_{0}}(\vec{E} \times \vec{B}) }\)

określa on ilość energii transportowanej w jednostce czasu przez jednostkowy przekrój poprzeczny. Innymi słowy określa moc przepływającą przez jednostkowy przekrój poprzeczny.

Dla biegnącej fali płaskiej dla której

\(\displaystyle{ \vec{B} = \frac{1}{c}(\vec{n}\times \vec{E}) }\)

mamy

\(\displaystyle{ \vec{\Pi} = \frac{1}{\mu_{0}\cdot c}[ \vec{E}\times (\vec{n} \times \vec{E} )] = \frac{1}{\mu_{0}\cdot c}\vec{E}^2\vec{n} = \varepsilon_{0}\cdot c \cdot\vec{E}^2 \cdot \vec{n}.}\)

Dla fal sinusoidalnych rozchodzących się w kierunku osi \(\displaystyle{ x }\)

\(\displaystyle{ \vec{E} = \vec{E}_{m} \cos(k x -\omega t).}\)

Wektor Poyntinga

\(\displaystyle{ \vec{\Pi} = \varepsilon_{0} \cdot c \cdot \vec{E}^2_{m}\cos^2(kx - \omega t) \ \ (1) }\)

Dla określonej współrzędnej \(\displaystyle{ x }\) wektor Poyntinga zmienia się z częstością \(\displaystyle{ 2\omega }\) w zakresie od zera do \(\displaystyle{ \varepsilon_{0} \cdot c \cdot \vec{E}^2_{m}. }\)

Wartość uśrednioną po czasie wektora Poyntinga (natężenie napromieniowania) dla sinusoidalnej fali płaskiej uzyskujemy z równania \(\displaystyle{ (1) }\)

\(\displaystyle{ \overline{\vec{\Pi}} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} \vec{\Pi}(t)dt = \varepsilon_{0} \cdot c \cdot \vec{E}^2_{m} \cdot \frac{1}{T}\int_{0}^{T}\cos^2(kx -\omega t)dt = \frac{1}{2}\varepsilon_{0} \cdot c \cdot \vec{E}^2_m. }\)

Posługując się zapisem wykładniczo - zespolonym - falę płaską biegnącą wzdłuż osi \(\displaystyle{ Ox }\) można zapisać w postaci

\(\displaystyle{ \vec{E} = \vec{E}_{m} e^{i(kx -\omega t)} .}\)

Uwzględniając równość \(\displaystyle{ \vec{E}\cdot \vec{E}^{*} = \vec{E}_{m}e^{i(kx -\omega t)} \cdot \vec{E}_{m}e^{-i(kx -\omega t)} = \vec{E}^2_{m},}\)

średnią wartość wektora Poyntinga wyrażamy wzorem

\(\displaystyle{ \overline{\vec{\Pi}} = \frac{1}{2}\varepsilon_{0} \cdot c \cdot \vec{E}\cdot \vec{E}^{*}. }\)
ODPOWIEDZ