Równania różniczkowe zwyczajne

Pole elektryczne i elektrostatyczne. Oddziaływania magnetyczne i siła elektrodynamiczna. Prąd stały i prąd zmienny.
Karolinaa0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 266
Rejestracja: 11 cze 2018, o 19:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Płock
Podziękował: 69 razy

Równania różniczkowe zwyczajne

Post autor: Karolinaa0 »

W obwodzie elektrycznym połączono szeregowo opornik o oporności \(\displaystyle{ R=10\left|\Omega\right|}\), cewkę o indukcyjności \(\displaystyle{ L=5\left| H \right| }\) oraz źródło napięcia \(\displaystyle{ E(t)=10\sin t \left| V \right| }\) . Zakładając że w chwili \(\displaystyle{ t=0 \left| s\right| }\) natężenie \(\displaystyle{ I=0 \left| A\right| }\) wyznaczyć natężenie w chwili \(\displaystyle{ t=20 \left| s\right| }\)
Czy mogłabym prosić o pomoc w ułożeniu równania różniczkowego do tego zadania? Z góry bardzo dziękuję.
Ostatnio zmieniony 25 kwie 2020, o 16:43 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3841
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 702 razy

Re: Równania różniczkowe zwyczajne

Post autor: AiDi »

A znasz drugie prawo Kirchhoffa? Sumujemy spadki (i wzrosty) napięć wzdłuż całego obwodu. W sumie to kilka sekund roboty i niekoniecznie wiem jak to podzielić na mniejsze kroki więc podam równanie, ale nie musisz tam zaglądać:
Ukryta treść:    
I czekam na ewentualne dalsze pytania :wink:
Karolinaa0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 266
Rejestracja: 11 cze 2018, o 19:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Płock
Podziękował: 69 razy

Re: Równania różniczkowe zwyczajne

Post autor: Karolinaa0 »

Znalazłam jeszcze taki wzór: \(\displaystyle{ I(t)=e ^{- \frac{R}{L}t} \left( I_{0} + \frac{1}{L} \int_{0}^{t}E(s)e ^{ \frac{R}{L}s } \right)ds }\)
Czy wystarczyłoby podstawić dane z tego zadania do tego wzoru? Jeśli tak, to chciałam jeszcze zapytać co oznaczają symbole: \(\displaystyle{ E(s)}\) oraz \(\displaystyle{ s}\) ? Z góry bardzo dziękuję.
Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3841
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 702 razy

Re: Równania różniczkowe zwyczajne

Post autor: AiDi »

Ano wystarczyłoby. Wzór się wziął ze sposobu rozwiązywania równań różniczkowych o nazwie "metoda uzmienniania stałej". Najpierw rozwiązujemy sobie równanie różniczkowe jednorodne, które jest równaniem pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych:
\(\displaystyle{ 0=RI+L\frac{dI}{dt}}\)
Jego rozwiązanie jest postaci:
\(\displaystyle{ I(t)=Ae^{-\frac{R}{L}t}}\),
gdzie \(\displaystyle{ A}\) jest stałą całkowania. Następnie zakładamy, że stała całkowania też jest funkcją czasu:
\(\displaystyle{ I(t)=A(t)e^{-\frac{R}{L}t}}\)
i wstawiamy to do równania niejednorodnego. Po przekształceniach dostajemy równanie różniczkowe na \(\displaystyle{ A(t)}\):
\(\displaystyle{ A'(t)=\frac{1}{L}e^{\frac{R}{L}t}E(t)}\),
którego formalne rozwiązanie jest dane w postaci całki:
\(\displaystyle{ A(t)=A_0+\frac{1}{L}\int_0^t e^{\frac{R}{L}s}E(s)ds}\).
Jako zmiennej całkowania używamy \(\displaystyle{ s}\), a nie \(\displaystyle{ t}\) żeby nie było kolizji oznaczeń. Ja jestem przyzwyczajony do używania \(\displaystyle{ t'}\), ale to jest zupełnie bez znaczenia, bo i tak obliczasz całkę oznaczoną, więc ślad po tej zmiennej zniknie całkowicie. W Twoim przypadku \(\displaystyle{ E(s)=10\sin s}\).
Karolinaa0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 266
Rejestracja: 11 cze 2018, o 19:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Płock
Podziękował: 69 razy

Re: Równania różniczkowe zwyczajne

Post autor: Karolinaa0 »

Czyli powinno być tak podstawione ?
\(\displaystyle{ I(t)=0+ \frac{1}{5} \int_{0}^{20}e^{ \frac{10}{5}s} 10 \sin s ds}\) ? A jeśli tak to przecież potem pod \(\displaystyle{ s}\) musielibyśmy wstawić \(\displaystyle{ t=20}\) czyli inną zmienną.
Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3841
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 702 razy

Re: Równania różniczkowe zwyczajne

Post autor: AiDi »

Karolinaa0 pisze: 27 kwie 2020, o 11:51 \(\displaystyle{ I(t)}\)
\(\displaystyle{ I(20)}\), ale reszta jest ok.
Karolinaa0 pisze: 27 kwie 2020, o 11:51 A jeśli tak to przecież potem pod \(\displaystyle{ s}\) musielibyśmy wstawić \(\displaystyle{ t=20}\) czyli inną zmienną.
Właściwie to \(\displaystyle{ s=t_{\text{które nas interesuje}}=20}\) i nie jest to inna zmienna tylko konkretna wartość liczbowa granicy całkowania.
Karolinaa0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 266
Rejestracja: 11 cze 2018, o 19:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Płock
Podziękował: 69 razy

Re: Równania różniczkowe zwyczajne

Post autor: Karolinaa0 »

Obliczyłam tą całkę przez części i wyszło mi :\(\displaystyle{ I(20)=0+ \frac{1}{5} \int_{0}^{20}e^{ \frac{10}{5}s} 10 \sin s ds = 2 \int_{0}^{20} \sin s e^{2s}ds= \frac{-2\left( e^{40} \cos 20 - 2 e^{40} \sin 20 + 1 \right) }{5} }\) Czy to jest rozwiązanie ?
I bardzo dziękuję:)
Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3841
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 702 razy

Re: Równania różniczkowe zwyczajne

Post autor: AiDi »

W liczniku w nawiasie powinno być \(\displaystyle{ -1}\).
Karolinaa0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 266
Rejestracja: 11 cze 2018, o 19:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Płock
Podziękował: 69 razy

Re: Równania różniczkowe zwyczajne

Post autor: Karolinaa0 »

Dziękuję jeszcze raz. Przeoczyłam jeszcze pierwszy czynnik ze wzoru: \(\displaystyle{ e^{-40}}\)
Teraz już chyba jest ok: \(\displaystyle{ I(20)=e^{-40}\left( 0+ \frac{1}{5} \int_{0}^{20}e^{ \frac{10}{5}s} 10 \sin s ds\right)= 2e^{-40} \int_{0}^{20}e^{2s} \sin s ds= \frac{-2e^{-40}\left( e^{40} \cos 20 - 2 e^{40} \sin 20 -1 \right) }{5}= -\frac{2}{5}\left( \cos20-2\sin20-e^{-40}\right)A}\)
Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3841
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 702 razy

Re: Równania różniczkowe zwyczajne

Post autor: AiDi »

Karolinaa0 pisze: 27 kwie 2020, o 15:43 Przeoczyłam jeszcze pierwszy czynnik ze wzoru: \(\displaystyle{ e^{-40}}\)
Ja też :wink: Teraz wygląda ok.
Karolinaa0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 266
Rejestracja: 11 cze 2018, o 19:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Płock
Podziękował: 69 razy

Re: Równania różniczkowe zwyczajne

Post autor: Karolinaa0 »

Pozwolę sobie jeszcze o coś zapytać, jeśli mogę. Rozwiązałam to równanie różniczkowe \(\displaystyle{ L \frac{dI}{dt} + RI = E(t)}\) metodą uzmienniania stałej i wyszedł mi nieco inny wzór: \(\displaystyle{ I(t)=e^{ - \frac{R}{L}t} \frac{1}{L} \int E(t)e^{ \frac{R}{L}t} dt }\)
bez całki oznaczonej i bez \(\displaystyle{ I_{0}}\). Gdybym podstawiła dane z zadania do tego równania : \(\displaystyle{ I(t)=e^{ - \frac{R}{L}t} \frac{1}{L} \int E(t)e^{ \frac{R}{L}t} dt }\) to wynik byłby zły ?
Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3841
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 702 razy

Re: Równania różniczkowe zwyczajne

Post autor: AiDi »

Nie, tylko musiałabyś uwzględnić stałą całkowania i obliczyć ją z warunków początkowych. Wyjdzie to samo. Jakbym ja sam sobie to rozwiązywał to też użyłbym całki nieoznaczonej, ale pokazałem sposób z oznaczoną bo taki wzór Ty podałaś :wink:
Karolinaa0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 266
Rejestracja: 11 cze 2018, o 19:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Płock
Podziękował: 69 razy

Re: Równania różniczkowe zwyczajne

Post autor: Karolinaa0 »

A mogę zapytać, jak uwzględnić tą stałą całkowania i obliczyć ją z warunków początkowych? Nie wiem niestety jak to się robi, próbowałam podstawiając za \(\displaystyle{ t \Rightarrow 0 }\) oraz za \(\displaystyle{ I(t) \Rightarrow 0}\), ale za każdym razem \(\displaystyle{ C}\) wychodziło mi \(\displaystyle{ 0}\). Z góry bardzo dziękuję.
Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3841
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 702 razy

Re: Równania różniczkowe zwyczajne

Post autor: AiDi »

Obliczałaś już całkę, więc przywołam wynik:
\(\displaystyle{ \int 10e^{2t}\sin t dt=-2e^{2t}(\cos t-2\sin t)+C}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ I(t)=-e^{-2t}\frac{2}{5}e^{2t}(\cos t-2\sin t)+\frac{e^{-2t}C}{5}=-\frac{2}{5}(\cos t-2\sin t)+\frac{e^{-2t}C}{5}}\)
Warunek początkowy: \(\displaystyle{ I(0)=0}\). Podstawmy:
\(\displaystyle{ 0=-\frac{2}{5}(1-0)+\frac{C}{5}}\)
skąd \(\displaystyle{ C=2}\). Ostatecznie:
\(\displaystyle{ I(t)=-\frac{2}{5}(\cos t-2\sin t-e^{-2t})}\)
Karolinaa0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 266
Rejestracja: 11 cze 2018, o 19:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Płock
Podziękował: 69 razy

Re: Równania różniczkowe zwyczajne

Post autor: Karolinaa0 »

Dziękuję Panu bardzo:)
ODPOWIEDZ