Energia dwóch ładunków

[Nuna]

Jaką prędkość względną powinny mieć zbliżające się do siebie protony, znajdujące się w odległości \(\displaystyle{ d = 10 cm}\), aby mogły ostatecznie zbliżyć się na odległość \(\displaystyle{ l=10^{-12} m}\).

Energia układu przy odległości \(\displaystyle{ d}\) to
\(\displaystyle{ E_{d}=\frac{2kq^{2} }{d^{2}} }\)

Energia układu przy odległości \(\displaystyle{ l}\) to
\(\displaystyle{ E_{l}=\frac{2kq^{2} }{l^{2}}}\)

Ich delta to jakaś energia kinetyczna. Jak wyznaczyć z tego prędkość względną?

[kerajs]

Hmm ... , czy przypadkiem jednostką Twojej energii nie są niutony zamiast dżuli?

[korki_fizyka]

Jaką prędkość względną powinny mieć zbliżające się do siebie protony, znajdujące się w odległości \(\displaystyle{ d = 10 cm}\), aby mogły ostatecznie zbliżyć się na odległość \(\displaystyle{ l=10^{-12} m}\).

Najprościej jest unieruchomić jeden z protonów, wtedy ten drugi będzie się zbliżał z początkową prędkością v i energią kinetyczną \(\displaystyle{ \frac{mv^2}{2}}\), która w miarę zbliżania zamienia się w energię potencjalną siły elektrostatycznego odpychania układu proton-proton. W odległości \(\displaystyle{ l_{min} = 10^{-12} m }\) energia kinetyczna równa się zeru, a energia potencjalna wynosi \(\displaystyle{ \frac{ke^2}{l_{min}}}\).
Stąd \(\displaystyle{ \frac{mv^2}{2} = \frac{ke^2}{l_{min}}}\) łatwo już policzysz prędkość.

[Nuna]

Hmm ... , czy przypadkiem jednostką Twojej energii nie są niutony zamiast dżuli?

A tak, oczywiście energia bez kwadratów w mianowniku.

Dodano po 18 minutach 41 sekundach:

Stąd \(\displaystyle{ \frac{mv^2}{2} = \frac{ke^2}{l_{min}}}\) łatwo już policzysz prędkość.

No dobrze, zakładamy, że jeden proton spoczywa. Ale czy przypadkiem równaniem energii nie jest

\(\displaystyle{ \frac{mv^{2}}{2}=ke^{2}(\frac{1}{l}-\frac{1}{d})}\) ?

Ładunki nie są przesuwane od nieskończoności, tylko od danej odległości \(\displaystyle{ d}\).
W każdym razie moim największym problemem w tym zadaniu było pojęcie, że energia opisywana przez równanie \(\displaystyle{ E=\frac{kq^{2}}{r}}\) jest energią układu dwóch ładunków, a nie jednego ładunku.

A co jeśli zakładamy, że dwa protony mają prędkości? Da się to wtedy rozwiązać?

[AiDi]

W każdym razie moim największym problemem w tym zadaniu było pojęcie, że energia opisywana przez równanie \(\displaystyle{ E=\frac{kq^{2}}{r}}\) jest energią układu dwóch ładunków, a nie jednego ładunku.

Warto zapamiętać, że każda energia potencjalna to energia układu jako całości. Np. \(\displaystyle{ mgh}\) to nie energia jednego ciała tylko układu Ziemia-ciało.

[janusz47]

Stosujemy prawo zachowania energii

Tabela
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline \\
& przed \ \ zblizeniem& po \ \ zblizeniu \\ \hline
E_{kin} & 2\frac{mv^2}{2} & 0 \\ \hline
E_{pot} & k\frac{ e^2}{d} & k \frac{e^2}{l} \\ \hline
Suma & mv^2 + k\frac{e^2}{d} & k\frac{e^2}{l} \\ \hline
\end{tabular} }\)

Na podstawie ostatniego wiersza tabeli

\(\displaystyle{ mv^2 + k\frac{e^{2}}{d} = k\frac{e^2}{l} }\)

\(\displaystyle{ mv^2 = k\frac{e^2}{l} - k\frac{e^{2}}{d} }\)

\(\displaystyle{ v = e \cdot \sqrt{\frac{k(d - l)}{m\cdot l \cdot d}}. }\)

Dodano po 8 minutach 38 sekundach:
\(\displaystyle{ e = 1, 60 \cdot 10^{-19} C , \ \ k = 8,99 \cdot 10^{9} \frac{N\cdot m^2}{C^2}, \ \ m = 1,67\cdot 10^{-27} kg.}\)