Uzasadnij, że strumień pola elektrycznego pochodzącego od pojedynczego ładunku punktowego \(\displaystyle{ q}\) przez zamkniętą powierzchnię o dowolnym kształcie jest proporcjonalny do tego ładunku.
Wskazówką do zadania jest to, by najpierw rozważyć przypadek sfery i potem przejść do dowolnej zamkniętej powierzchni. Dla sfery wyznaczyłam, ale jak zrobić to przejście?
Strumień pola dowolnej zamkniętej powierzchni
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Strumień pola dowolnej zamkniętej powierzchni
Rysunek dowolnej powierzchni zamkniętej \(\displaystyle{ S }\) obejmującej ładunek punktowy \(\displaystyle{ q.}\)
Strumień wektora pola elektrycznego przez tę powierzchnię jest równy
\(\displaystyle{ \Phi_{E} = \oint_{S} \vec{E}(r)\cdot d\vec{S} = \oint_{S} \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \vec{i}_{r}\cdot \vec{i}_{n} dS =\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\oint \frac{\cos(\theta)}{r^2} dS, }\)
\(\displaystyle{ \vec{i}_{r}\cdot \vec{i}_{n} = \cos(\theta),}\)
gdzie
\(\displaystyle{ \theta }\) jest kątem między wektorem \(\displaystyle{ \vec{E} = E\vec{i}_{r} }\) i wersorem \(\displaystyle{ \vec{i}_{n} }\) normalnym do powierzchni \(\displaystyle{ S }\) w punkcie \(\displaystyle{ r. }\).
Iloraz
\(\displaystyle{ \frac{\cos(\theta) dS}{r^2} = d\Omega }\) jest kątem bryłowym, pod jakim widać element powierzchniowy \(\displaystyle{ dS }\) z punktu położenia ładunku \(\displaystyle{ q. }\)
Stąd
\(\displaystyle{ \Phi_{E} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\oint_{S} \frac{\cos(\theta)}{r^{2}} dS = \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\oint_{S} d\Omega = \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot 4\pi = \frac{q}{\varepsilon_{0}}. }\)
Jest to ten sam wynik, który Pani otrzymała w przypadku powierzchni sferycznej.
Jaki stąd wniosek ?
Strumień pola elektrycznego \(\displaystyle{ \Phi_{E} }\) przez powierzchnię zamkniętą \(\displaystyle{ S }\) nie zależy od kształtu powierzchni otaczającej ładunek \(\displaystyle{ q, }\) ani od położenia tego ładunku względem tej powierzchni i jest proporcjonalny do tego ładunku.
Dla dowolnej powierzchni \(\displaystyle{ S }\) mamy
\(\displaystyle{ q = \varepsilon_{0}\cdot \Phi_{E} = \varepsilon_{0}\oint _{S} \vec{E}\cdot \vec{dS} }\)
Z punktu widzenia teorii pola Faradaya-Maxwella równanie to stanowi definicję ładunku elektrycznego \(\displaystyle{ q }\) jako źródła strumienia pola (źródła pola): ładunek elektryczny jest równy strumieniowi natężenia pola elektrycznego przez otaczającą ten ładunek powierzchnię zamkniętą pomnożonemu przez przenikalność elektryczną próżni.
Strumień wektora pola elektrycznego przez tę powierzchnię jest równy
\(\displaystyle{ \Phi_{E} = \oint_{S} \vec{E}(r)\cdot d\vec{S} = \oint_{S} \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \vec{i}_{r}\cdot \vec{i}_{n} dS =\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\oint \frac{\cos(\theta)}{r^2} dS, }\)
\(\displaystyle{ \vec{i}_{r}\cdot \vec{i}_{n} = \cos(\theta),}\)
gdzie
\(\displaystyle{ \theta }\) jest kątem między wektorem \(\displaystyle{ \vec{E} = E\vec{i}_{r} }\) i wersorem \(\displaystyle{ \vec{i}_{n} }\) normalnym do powierzchni \(\displaystyle{ S }\) w punkcie \(\displaystyle{ r. }\).
Iloraz
\(\displaystyle{ \frac{\cos(\theta) dS}{r^2} = d\Omega }\) jest kątem bryłowym, pod jakim widać element powierzchniowy \(\displaystyle{ dS }\) z punktu położenia ładunku \(\displaystyle{ q. }\)
Stąd
\(\displaystyle{ \Phi_{E} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\oint_{S} \frac{\cos(\theta)}{r^{2}} dS = \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\oint_{S} d\Omega = \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot 4\pi = \frac{q}{\varepsilon_{0}}. }\)
Jest to ten sam wynik, który Pani otrzymała w przypadku powierzchni sferycznej.
Jaki stąd wniosek ?
Strumień pola elektrycznego \(\displaystyle{ \Phi_{E} }\) przez powierzchnię zamkniętą \(\displaystyle{ S }\) nie zależy od kształtu powierzchni otaczającej ładunek \(\displaystyle{ q, }\) ani od położenia tego ładunku względem tej powierzchni i jest proporcjonalny do tego ładunku.
Dla dowolnej powierzchni \(\displaystyle{ S }\) mamy
\(\displaystyle{ q = \varepsilon_{0}\cdot \Phi_{E} = \varepsilon_{0}\oint _{S} \vec{E}\cdot \vec{dS} }\)
Z punktu widzenia teorii pola Faradaya-Maxwella równanie to stanowi definicję ładunku elektrycznego \(\displaystyle{ q }\) jako źródła strumienia pola (źródła pola): ładunek elektryczny jest równy strumieniowi natężenia pola elektrycznego przez otaczającą ten ładunek powierzchnię zamkniętą pomnożonemu przez przenikalność elektryczną próżni.
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Re: Strumień pola dowolnej zamkniętej powierzchni
Wsadzasz swoją sferę z ładunkiem w powierzchnię zamkniętą. Całkowity strumień przenikający sferę jest taki sam jak przenikający przez powierzchnię. Skoro strumień pola elektrycznego pochodzącego od pojedynczego ładunku punktowego jest proporcjonalny do tego ładunku zamkniętego w sferze, to jest także proporcjonalny do tego ładunku ograniczonego powierzchnią zamkniętą.