Potencjały retardowane, prąd zmienny w cienkim przewodniku

[mmss]

Witajcie, dostałem takie zadanie które przerasta niestety moją wyobraźnie.

W nieskończonym cienkim prostoliniowym przewodzie w czasie \(\displaystyle{ t = 0}\) został włączony zmienny prąd o natężeniu \(\displaystyle{ I(t) = \alpha \cdot t}\). Znaleźć pole \(\displaystyle{ E}\) i pole \(\displaystyle{ B}\) w odległości \(\displaystyle{ d}\) od przewodnika.

Niestety nigdy nie robiłem tego typu zadania, moje próby związane z wykorzystaniem prawa Gaussa oraz prawa Amper'a są całkowicie mylne.
Podobno hasłem klucz są tutaj potencjały opóźniony(czasem zwane retardowanymi). Czy ktoś umiałby poprowadzić za rękę bądź pokazać jak takie coś zrobić ?

Bardzo dziękuję za pomoc.

[janusz47]

Zakładamy, że

\(\displaystyle{ I(t)= \begin{cases} 0, \ \ t<0 \\ \alpha\cdot t, \ \ \alpha=const > 0, \ \ t > 0 \end{cases} }\)

Korzystamy z elektromagnetycznego potencjału retardowego

\(\displaystyle{ A(r,t) = A(d,t)= \frac{\mu_{0} \cdot I(t)} {4\pi} \hat{z} \int_{-\sqrt{(ct)^2 - d^{2}}}^{\sqrt{(ct)^2 +d^{2}}}\frac{1}{\sqrt{d^2+z^2}}dz , \ \ t>\frac{d}{c}, \ \ |\hat{z}|\leq \sqrt{(ct)^{2} -d^{2}}. }\)

\(\displaystyle{ A(d,t)= \frac{\mu_{0} \cdot \alpha t}{4\pi} \hat{z} \int_{-\sqrt{(c t)^2 - d^{2}}}^{\sqrt{(c t)^2 +d^{2}}}\frac{1}{\sqrt{d^2-z^2}}dz }\)

\(\displaystyle{ A(d,t)=\frac{\mu_{0}\cdot \alpha t}{2\pi} \hat{z}\left[\ln\left(\sqrt{d^2-z^2}+ z \right)\right]_{0}^{\sqrt{(ct)^2+d^{2}}} = \frac{\mu_{0}\cdot \alpha t}{2\pi} \hat{z} \ln \left(\frac{ct + \sqrt{(ct)^2 - d^{2}}}{d}\right).}\)

Proszę obliczyć

\(\displaystyle{ E = -\frac {\partial A(d,t)}{ \partial t} }\)

\(\displaystyle{ B = \nabla \times A(d,t) }\)

[mmss]

A czy w wyrażeniu na \(\displaystyle{ t}\) w prądzie \(\displaystyle{ I(t)}\) nie powinno się podstawiać jakiegoś czasu raterdowanego ?

[janusz47]

Tak podstawiamy \(\displaystyle{ t_{r}. }\)