Cześć! Proszę o pomoc z poniższym zadaniem:
"Jaka energia jest zgromadzona w kuli o promieniu \(\displaystyle{ R}\), naładowanej jednorodnie ładunkiem \(\displaystyle{ Q}\)?
Odp. z zbioru: \(\displaystyle{ \frac{3}{5} \frac{Q ^{2} }{4 \pi \epsilon _{0} R}}\)
Energia zgromadzona w jednorodnie naładowanej kuli
-
PestkaKK
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 16 cze 2019, o 14:18
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
Energia zgromadzona w jednorodnie naładowanej kuli
Ostatnio zmieniony 16 cze 2019, o 14:41 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa także do pojedynczych symboli.
Powód: Używaj LaTeXa także do pojedynczych symboli.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Energia zgromadzona w jednorodnie naładowanej kuli
Jeden ze sposobów rozwiązania - wykorzystujący natężenie pola elektrosttycznego
Rysunek kuli o promieniu \(\displaystyle{ r}\)
\(\displaystyle{ u = \frac{1}{2}\epsilon_{0}E^2 \ \ (1)}\)
Elementarna praca, potrzebna na przeniesienie \(\displaystyle{ dq}\) na odległość promienia kuli \(\displaystyle{ r}\)
\(\displaystyle{ dW = \frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{q(r) dq }{r} \ \ (2)}\)
gdzie
\(\displaystyle{ q(r) = \frac{4}{3}\pi r^3 \cdot \rho, \ \ \rho \equiv 1 \ \ (3)}\)
Stąd
\(\displaystyle{ dq = 4\pi r^2 dr \ \ (4)}\)
Podstawiamy \(\displaystyle{ (3), (4)}\) do \(\displaystyle{ (2)}\)
\(\displaystyle{ dW = \frac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \frac{(4/3\pi r^3)(4\pi r^2 dr)}{r} = \frac{4}{3}\frac{\pi}{\epsilon_{0}}r^4 dr.}\)
Całkowita praca
\(\displaystyle{ W = \int_{0}^{R} dW = \int_{0}^{R} \frac{4}{3}\frac{\pi}{\epsilon_{0}}r^4 dr = \frac{4}{15}\frac{\pi}{\epsilon_{0}}R^5}\)
Ponieważ ładunek całkowity
\(\displaystyle{ Q = \frac{4}{3}\pi R^3}\)
więc
\(\displaystyle{ W = \left( \frac{4}{15}\frac{\pi}{\epsilon_{0}}R^5 \right)\left ( \frac{R}{R}\cdot \frac{\pi}{\pi} \cdot \frac{4}{4}\cdot \frac{3}{3} \right)}\)
\(\displaystyle{ W = \frac{3}{5} \left( \frac{4}{3}\pi R^3\right)^2\left (\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\right) \left( \frac{1}{R}\right)}\)
\(\displaystyle{ W = \frac{3}{5}\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{Q^2}{R}.}\)
Rysunek kuli o promieniu \(\displaystyle{ r}\)
\(\displaystyle{ u = \frac{1}{2}\epsilon_{0}E^2 \ \ (1)}\)
Elementarna praca, potrzebna na przeniesienie \(\displaystyle{ dq}\) na odległość promienia kuli \(\displaystyle{ r}\)
\(\displaystyle{ dW = \frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{q(r) dq }{r} \ \ (2)}\)
gdzie
\(\displaystyle{ q(r) = \frac{4}{3}\pi r^3 \cdot \rho, \ \ \rho \equiv 1 \ \ (3)}\)
Stąd
\(\displaystyle{ dq = 4\pi r^2 dr \ \ (4)}\)
Podstawiamy \(\displaystyle{ (3), (4)}\) do \(\displaystyle{ (2)}\)
\(\displaystyle{ dW = \frac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \frac{(4/3\pi r^3)(4\pi r^2 dr)}{r} = \frac{4}{3}\frac{\pi}{\epsilon_{0}}r^4 dr.}\)
Całkowita praca
\(\displaystyle{ W = \int_{0}^{R} dW = \int_{0}^{R} \frac{4}{3}\frac{\pi}{\epsilon_{0}}r^4 dr = \frac{4}{15}\frac{\pi}{\epsilon_{0}}R^5}\)
Ponieważ ładunek całkowity
\(\displaystyle{ Q = \frac{4}{3}\pi R^3}\)
więc
\(\displaystyle{ W = \left( \frac{4}{15}\frac{\pi}{\epsilon_{0}}R^5 \right)\left ( \frac{R}{R}\cdot \frac{\pi}{\pi} \cdot \frac{4}{4}\cdot \frac{3}{3} \right)}\)
\(\displaystyle{ W = \frac{3}{5} \left( \frac{4}{3}\pi R^3\right)^2\left (\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\right) \left( \frac{1}{R}\right)}\)
\(\displaystyle{ W = \frac{3}{5}\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{Q^2}{R}.}\)