Hej, mam problem z takim zadankiem:
Korzystając z równań Maxwella wykaż, że prąd przepływający przez zamkniętą powierzchnię S ograniczającą objętość V jest równy zmniejszeniu się ładunku w tej objętości na jednostkę czasu.
W ogóle nie wiem, jak się za to zabrać, z którego równania, w jakiej postaci. Dodam też, że nie umiem przekształcać równań z rotacją i dywergencją, bo na matmie tego nie mieliśmy, a prowadząca z fizyki nam nie wprowadzała, ale wymaga. Ehh...
Dowód z rów. Maxwella na natężenie prądu
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 28 paź 2018, o 16:02
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- mdd
- Użytkownik
- Posty: 1897
- Rejestracja: 14 kwie 2013, o 10:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 512 razy
Dowód z rów. Maxwella na natężenie prądu
Operacją dywergencji podziałaj na równanie będące uogólnieniem Prawa Ampere'a w postaci różniczkowej. Potem wynik całkuj po objętości i zastosuj Tw. Gaussa.
Kup sobie dobry podręcznik do podstaw elektromagnetyzmu - tam pojęcia rotacji i dywergencji są zazwyczaj fajnie wytłumaczone.
Kup sobie dobry podręcznik do podstaw elektromagnetyzmu - tam pojęcia rotacji i dywergencji są zazwyczaj fajnie wytłumaczone.
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Dowód z rów. Maxwella na natężenie prądu
Rozważamy w pewnym ośrodku, w którym płynie prąd - pewien obszar spójny o objętości \(\displaystyle{ V \subset E^3}\) zamknięty powierzchnią \(\displaystyle{ (S).}\)
Strumień ładunku wypływający z tej objętości przez powierzchnię \(\displaystyle{ (S)}\) jest równy jego ubytkowi wewnątrz tej objętości
\(\displaystyle{ \int_{(S)}\vec{j}dS = -\frac{dq}{dt} \ \ (1)}\)
Korzystając z twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego, lewą stronę równania \(\displaystyle{ (1)}\) możemy zastąpić całką po objętości \(\displaystyle{ (V)}\) z dywergencji wektora \(\displaystyle{ \vec{j}.}\)
\(\displaystyle{ \int_{(S)}\vec{j}dS = \int_{(V)}div(\vec{j})dV = \int_{(V)}\nabla(\vec{j})dV \ \ (2)}\)
Ładunek \(\displaystyle{ q}\) możemy wyrazić jako całkę z objętościowej gęstości ładunku
\(\displaystyle{ q = \int_{(V)} \rho dV \ \ (3)}\)
Uwzględniając równania \(\displaystyle{ (3), (2)}\) w \(\displaystyle{ (1)}\)
\(\displaystyle{ \int_{(V)}\nabla(\vec{j})dV = -\frac{d}{dt}\int_{(V)}\rho dV = \int_{(V)} -\frac{d \rho}{dt}dV .}\)
c.n.d.
Polecam podręcznik
Edmund Karaśkiewicz. Zarys Teorii Wektorów i Tensorów. PWN
Strumień ładunku wypływający z tej objętości przez powierzchnię \(\displaystyle{ (S)}\) jest równy jego ubytkowi wewnątrz tej objętości
\(\displaystyle{ \int_{(S)}\vec{j}dS = -\frac{dq}{dt} \ \ (1)}\)
Korzystając z twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego, lewą stronę równania \(\displaystyle{ (1)}\) możemy zastąpić całką po objętości \(\displaystyle{ (V)}\) z dywergencji wektora \(\displaystyle{ \vec{j}.}\)
\(\displaystyle{ \int_{(S)}\vec{j}dS = \int_{(V)}div(\vec{j})dV = \int_{(V)}\nabla(\vec{j})dV \ \ (2)}\)
Ładunek \(\displaystyle{ q}\) możemy wyrazić jako całkę z objętościowej gęstości ładunku
\(\displaystyle{ q = \int_{(V)} \rho dV \ \ (3)}\)
Uwzględniając równania \(\displaystyle{ (3), (2)}\) w \(\displaystyle{ (1)}\)
\(\displaystyle{ \int_{(V)}\nabla(\vec{j})dV = -\frac{d}{dt}\int_{(V)}\rho dV = \int_{(V)} -\frac{d \rho}{dt}dV .}\)
c.n.d.
Polecam podręcznik
Edmund Karaśkiewicz. Zarys Teorii Wektorów i Tensorów. PWN
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 28 paź 2018, o 16:02
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
Re: Dowód z rów. Maxwella na natężenie prądu
Czyli coś takiego teraz mam:
z uogólnionego p. Ampere'a:
\(\displaystyle{ \nabla\times\vec{B}=\mu\vec{j}+\mu\varepsilon\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}
div rot \vec{B} =\mu div \vec{j}+\mu\varepsilon div \frac{\partial\vec{E}}{\partial t}
0=div \vec{j}+\varepsilon \frac{\partial div\vec{E}}{\partial t}}\)
Całkuję i korzystam z tw. Gaussa:
\(\displaystyle{ \int\limits_{V}^{}div\vec{j} + \varepsilon \frac{ \partial \int_{V}^{}div\vec{E} }{ \partial t}=0
\oint_{S}^{}\vec{j}d\vec{S}+\varepsilon\frac{\partial \oint_{S}^{}\vec{E}d\vec{S}}{\partial t}=0}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ I+ \frac {\varepsilon \partial Q}{\varepsilon _{0} \partial t} =0}\)
Czy tak jest ok?
I jak rozumiem przenikalności elektryczne powinny się skrócić, zatem przyjąć, że przenikalność ośrodka równa przenikalności w próżni?
Wtedy:
\(\displaystyle{ I= -\frac{\partial Q}{\partial t}}\)
z uogólnionego p. Ampere'a:
\(\displaystyle{ \nabla\times\vec{B}=\mu\vec{j}+\mu\varepsilon\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}
div rot \vec{B} =\mu div \vec{j}+\mu\varepsilon div \frac{\partial\vec{E}}{\partial t}
0=div \vec{j}+\varepsilon \frac{\partial div\vec{E}}{\partial t}}\)
Całkuję i korzystam z tw. Gaussa:
\(\displaystyle{ \int\limits_{V}^{}div\vec{j} + \varepsilon \frac{ \partial \int_{V}^{}div\vec{E} }{ \partial t}=0
\oint_{S}^{}\vec{j}d\vec{S}+\varepsilon\frac{\partial \oint_{S}^{}\vec{E}d\vec{S}}{\partial t}=0}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ I+ \frac {\varepsilon \partial Q}{\varepsilon _{0} \partial t} =0}\)
Czy tak jest ok?
I jak rozumiem przenikalności elektryczne powinny się skrócić, zatem przyjąć, że przenikalność ośrodka równa przenikalności w próżni?
Wtedy:
\(\displaystyle{ I= -\frac{\partial Q}{\partial t}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Dowód z rów. Maxwella na natężenie prądu
Całkujemy po objętości \(\displaystyle{ (V)}\) równanie zachowania (ciągłości) ładunku:
\(\displaystyle{ \frac{\partial \rho}{ \partial t} + \nabla \vec{j} = 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial \rho}{ \partial t} + \nabla \vec{j} = 0}\)