Dowód z rów. Maxwella na natężenie prądu

Pole elektryczne i elektrostatyczne. Oddziaływania magnetyczne i siła elektrodynamiczna. Prąd stały i prąd zmienny.
Balladyna98
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 28 paź 2018, o 16:02
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa

Dowód z rów. Maxwella na natężenie prądu

Post autor: Balladyna98 » 9 cze 2019, o 15:03

Hej, mam problem z takim zadankiem:
Korzystając z równań Maxwella wykaż, że prąd przepływający przez zamkniętą powierzchnię S ograniczającą objętość V jest równy zmniejszeniu się ładunku w tej objętości na jednostkę czasu.
W ogóle nie wiem, jak się za to zabrać, z którego równania, w jakiej postaci. Dodam też, że nie umiem przekształcać równań z rotacją i dywergencją, bo na matmie tego nie mieliśmy, a prowadząca z fizyki nam nie wprowadzała, ale wymaga. Ehh...
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
mdd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1870
Rejestracja: 14 kwie 2013, o 10:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 505 razy

Dowód z rów. Maxwella na natężenie prądu

Post autor: mdd » 9 cze 2019, o 19:18

Operacją dywergencji podziałaj na równanie będące uogólnieniem Prawa Ampere'a w postaci różniczkowej. Potem wynik całkuj po objętości i zastosuj Tw. Gaussa.

Kup sobie dobry podręcznik do podstaw elektromagnetyzmu - tam pojęcia rotacji i dywergencji są zazwyczaj fajnie wytłumaczone.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5527
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1210 razy

Dowód z rów. Maxwella na natężenie prądu

Post autor: janusz47 » 9 cze 2019, o 20:59

Rozważamy w pewnym ośrodku, w którym płynie prąd - pewien obszar spójny o objętości \(\displaystyle{ V \subset E^3}\) zamknięty powierzchnią \(\displaystyle{ (S).}\)

Strumień ładunku wypływający z tej objętości przez powierzchnię \(\displaystyle{ (S)}\) jest równy jego ubytkowi wewnątrz tej objętości

\(\displaystyle{ \int_{(S)}\vec{j}dS = -\frac{dq}{dt} \ \ (1)}\)

Korzystając z twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego, lewą stronę równania \(\displaystyle{ (1)}\) możemy zastąpić całką po objętości \(\displaystyle{ (V)}\) z dywergencji wektora \(\displaystyle{ \vec{j}.}\)

\(\displaystyle{ \int_{(S)}\vec{j}dS = \int_{(V)}div(\vec{j})dV = \int_{(V)}\nabla(\vec{j})dV \ \ (2)}\)

Ładunek \(\displaystyle{ q}\) możemy wyrazić jako całkę z objętościowej gęstości ładunku

\(\displaystyle{ q = \int_{(V)} \rho dV \ \ (3)}\)

Uwzględniając równania \(\displaystyle{ (3), (2)}\) w \(\displaystyle{ (1)}\)

\(\displaystyle{ \int_{(V)}\nabla(\vec{j})dV = -\frac{d}{dt}\int_{(V)}\rho dV = \int_{(V)} -\frac{d \rho}{dt}dV .}\)
c.n.d.


Polecam podręcznik

Edmund Karaśkiewicz. Zarys Teorii Wektorów i Tensorów. PWN

Awatar użytkownika
mdd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1870
Rejestracja: 14 kwie 2013, o 10:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 505 razy

Dowód z rów. Maxwella na natężenie prądu

Post autor: mdd » 9 cze 2019, o 21:37

janusz47, z ani jednego równania Maxwella nie skorzystałeś, a takie było polecenie, żeby z nich skorzystać.

Balladyna98
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 28 paź 2018, o 16:02
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa

Re: Dowód z rów. Maxwella na natężenie prądu

Post autor: Balladyna98 » 10 cze 2019, o 11:35

Czyli coś takiego teraz mam:
z uogólnionego p. Ampere'a:
\(\displaystyle{ \nabla\times\vec{B}=\mu\vec{j}+\mu\varepsilon\frac{\partial\vec{E}}{\partial t} div rot \vec{B} =\mu div \vec{j}+\mu\varepsilon div \frac{\partial\vec{E}}{\partial t} 0=div \vec{j}+\varepsilon \frac{\partial div\vec{E}}{\partial t}}\)
Całkuję i korzystam z tw. Gaussa:
\(\displaystyle{ \int\limits_{V}^{}div\vec{j} + \varepsilon \frac{ \partial \int_{V}^{}div\vec{E} }{ \partial t}=0 \oint_{S}^{}\vec{j}d\vec{S}+\varepsilon\frac{\partial \oint_{S}^{}\vec{E}d\vec{S}}{\partial t}=0}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ I+ \frac {\varepsilon \partial Q}{\varepsilon _{0} \partial t} =0}\)
Czy tak jest ok?
I jak rozumiem przenikalności elektryczne powinny się skrócić, zatem przyjąć, że przenikalność ośrodka równa przenikalności w próżni?
Wtedy:
\(\displaystyle{ I= -\frac{\partial Q}{\partial t}}\)

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5527
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1210 razy

Dowód z rów. Maxwella na natężenie prądu

Post autor: janusz47 » 10 cze 2019, o 15:00

Całkujemy po objętości \(\displaystyle{ (V)}\) równanie zachowania (ciągłości) ładunku:

\(\displaystyle{ \frac{\partial \rho}{ \partial t} + \nabla \vec{j} = 0}\)

ODPOWIEDZ