Matematyka.pl

Potrzebuję pomocy w następującym zadaniu: Cztery żarówki o jednakowej mocy nominalnej włączono do gniazdka, jak pokazano na schemacie (schemat z zadania 4 ). Określ, która żarówka będzie świecić najjaśniej.

Z obliczeń wyszło mi, że największe natężenie jest na żarówce nr 1. Czy z tego wynika, że żarówka nr 1 będzie świecić najjaśniej?

Tak.

Jaką wartość, która wyszła z obliczeń ma natężenie prądu przepływającego przez żarówkę 1?

Jaka jest moc wydzielana na tej żarówce?

Dziękuję pięknie!

@Janusz47
Nie ma żadnych danych liczbowych, więc nie ma żadnych wartości.

• \(\displaystyle{ i_1=i_2+i_3\ \ \Rightarrow\ \ i_1>i_2\ \wedge\ i_1>i_3}\)

Moc nominalna (znamionowa) żarówki \(\displaystyle{ P,}\) to najwyższa moc, która nie powoduje jej uszkodzenia (pomijam czas 100 godzin).

\(\displaystyle{ P = I^2\cdot R.}\)

Opór zastępczy układu:

\(\displaystyle{ R_{3,4} = R_{3}+R_{4}}\) (połączenie szeregowe).

\(\displaystyle{ \frac{1}{R_{2,3,4}}= \frac{1}{R_{3,4}} + \frac{1}{R_{4}}}\) (połączenie równoległe).

\(\displaystyle{ R_{2,3,4} =\frac{R_{3,4}\cdot R_{4}}{R_{4}+R_{3,4}} = \frac{R\cdot 2R}{R +2R}= \frac{2}{3}R.}\)

\(\displaystyle{ R_{z}= R_{1} + R_{2,3,4} = R + R_{2,3,4} = R + \frac{2}{3}R = \frac{5}{3}R.}\)

Natężenia prądów:

\(\displaystyle{ I_{1}= \frac{U}{R_{z}} = \frac{U}{\frac{5}{3}R}= \frac{3}{5}J.}\)

\(\displaystyle{ U_{2} = I_{1}\cdot R_{3,4} = \frac{3}{5}I\cdot \frac{2}{3}R = \frac{6}{15}I\cdot R= \frac{2}{5}I\cdot R.}\)

\(\displaystyle{ I_{2} = \frac{U_{2}}{R_{2}}= \frac{\frac{2}{5}I\cdot R}{R} = \frac{2}{5}I.}\)

\(\displaystyle{ I_{3,4} = \frac{U_{2}}{R_{3,4}} =\frac{\frac{2}{5}I\cdot R}{2R} = \frac{1}{5}I.}\)


\(\displaystyle{ I_{1}> I_{2}> I_{3}.}\)

I na tym można by było zadanie zakończyć, ale policzmy jeszcze moce wydzielane na poszczególnych żarówkach, bo jeśli przez żarówkę o numerze 1 płynie prąd o największym natężeniu, to moc wydzielana na niej jest największa czyli świeci najjaśniej. Żarówka 100 W świeci jaśniej niż na przykład żarówka 40W.

\(\displaystyle{ P_{1}= I^2_{1}\cdot R = \left(\frac{3}{5}I\right)^2\cdot R = \frac{9}{25}I^2\cdot R = \frac{9}{25}P.}\)

\(\displaystyle{ P_{2}= I^2_{2}\cdot R = \left(\frac{2}{5}I\right)^2\cdot R = \frac{4}{25}I^2\cdot R = \frac{4}{25}P.}\)

\(\displaystyle{ P_{3}= P_{4} =I^2_{3,4}\cdot R = \left(\frac{1}{5}I\right)^2\cdot R = \frac{1}{25}I^2\cdot R = \frac{1}{25}P.}\)

\(\displaystyle{ P_{1}>P_{2}> P_{3}.}\)

Największa moc jest wydzielana na żarówce o numerze 1, a więc żarówka ta będzie świecić najjaśniej.

Dziękuję!