Matematyka.pl

W jaki sposób, moge wykazać zachowawczość pól elektrostatycznych?

Praca to iloczyn ładunku i różnicy potencjałów.\(\displaystyle{ W=q\Delta V}\)
Jeśli ładunek przemieszczamy z punktu A do punktu A (czyli po dowolnej drodze zamkniętej) to warunkiem tego, aby pole było zachowawcze jest to aby praca przy przenoszeniu tego ładunku po dowolnej drodze zamkniętej była równa zeru.

Sprawdźmy: Jeśli droga jest zamknięta to ładunek przenosimy z punktu A do A czyli punktów przestrzeni o tym samym potencjale , więc \(\displaystyle{ \Delta V=0}\) czyli \(\displaystyle{ W=0}\), zatem pole jest zachowawcze.

A trochę bardziej "akademicko" - jeżeli pole jest zachowawcze, to dowolna całka krzywoliniowa tego pola po krzywej zamkniętej ograniczającej płat powierzchniowy S musi być równa zero:

\(\displaystyle{ W=\oint_{s}\vec{F}\circ d\vec{s}=0}\)

Korzystając z twierdzenia Stokesa, można zapisać powyższe w sposób nieco inny:

\(\displaystyle{ W=\iint_{S}(\nabla \vec{F})\circ d\vec{S}}\)

Wystraczy zatem wykazać, iż rotacja pola sił elektrostatycznych jest równa zero (co nie powinno być trudne, wszak jest to pole potencjalne), aby udowodnić, iż faktycznie pole jest zachowawcze.