Mam następujące zadanie:
Nierelatywistyczna cząstka porusza się w prostopadłych polach \(\displaystyle{ \vec{E}}\) i \(\displaystyle{ \vec{B}}\). Prędkość początkowa cząstki jest prostopadła do \(\displaystyle{ \vec{B}}\). Oblicz \(\displaystyle{ \vec{r}(t)}\) i \(\displaystyle{ \vec{v}(t)}\), jeśli w ośrodku występuje siła oporu \(\displaystyle{ \vec{F}=-\alpha\vec{v}}\), gdzie stała \(\displaystyle{ \alpha > 0}\).
Przyjąłem, że pole B jest wzdłuż osi z, a pole E wzdłuż osi y, więc:
\(\displaystyle{ \vec{F_E}=(0,qE,0)}\)
\(\displaystyle{ \vec{v}=(\dot{x},\dot{y},0)}\)
\(\displaystyle{ \vec{F_B}=q\vec{v}\times\vec{B}=(qB\dot{y},-qB\dot{x},0)}\)
\(\displaystyle{ \vec{F_{op}}=(-\alpha\dot{x},-\alpha\dot{y},0)}\)
A zatem:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}
m\ddot{x}=-\alpha\dot{x}+qB\dot{y} \\
m\ddot{y}=-\alpha\dot{y}-qB\dot{x}+qE
\end{array}\right.}\)
Doszedłem do powyższych równań różniczkowych i chciałem spytać, czy są one prawidłowe, a jeżeli tak, to jak wziąć się za nie?
Cząstka w prostopadłych polach E i B
Cząstka w prostopadłych polach E i B
Prawidłowe równania ułożyłeś, bardzo dobrze. Znasz metodę Eulera dla układów równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach ? Ten układ równań jest niejednorodny. Można też metodą eliminacji albo metodą z użyciem transformat Laplace'a.
- wutevah
- Użytkownik
- Posty: 47
- Rejestracja: 22 lis 2011, o 20:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 11 razy
Cząstka w prostopadłych polach E i B
Witam ponownie,
wyleciało mi z głowy, że jest tu ten temat.
Gdyby kogoś interesowało, to da się rozwiązać ten układ bez znajomości sposobów propoowanych przez joe74.
Mianowicie robimy następujące podstawienie: \(\displaystyle{ \mu=x+iy}\).
Mnożymy drugie równanie przez \(\displaystyle{ i}\) i dodajemy oba równania stronami.
Dostajemy jedno równanie różniczkowe, które łatwo rozwiązać:
\(\displaystyle{ m\ddot{\mu}=-(\alpha+iqB)\dot{\mu}+iqE}\).
Potem oczywiście:
\(\displaystyle{ x=\mathrm{Re~}\mu}\)
\(\displaystyle{ y=\mathrm{Im~}\mu}\)
Edit:
W pierwszym poście pisałam w rodzaju męskim, co może dziwić.
Bałam się w przypadku, gdybym się myliła, ale słabość, bojaźń i naiwność już opadły ze mnie
wyleciało mi z głowy, że jest tu ten temat.
Gdyby kogoś interesowało, to da się rozwiązać ten układ bez znajomości sposobów propoowanych przez joe74.
Mianowicie robimy następujące podstawienie: \(\displaystyle{ \mu=x+iy}\).
Mnożymy drugie równanie przez \(\displaystyle{ i}\) i dodajemy oba równania stronami.
Dostajemy jedno równanie różniczkowe, które łatwo rozwiązać:
\(\displaystyle{ m\ddot{\mu}=-(\alpha+iqB)\dot{\mu}+iqE}\).
Potem oczywiście:
\(\displaystyle{ x=\mathrm{Re~}\mu}\)
\(\displaystyle{ y=\mathrm{Im~}\mu}\)
Edit:
W pierwszym poście pisałam w rodzaju męskim, co może dziwić.
Bałam się w przypadku, gdybym się myliła, ale słabość, bojaźń i naiwność już opadły ze mnie