Matematyka.pl

Cienki nieprzewodzący pierścień o promieniu R naładowano równomiernie dodatnim ładunkiem q. Znajdź natężenie pola elektrycznego w punkcie leżącym na osi pierścienia, w odległości z od jego środka. przeanalizuj przypadki : \(\displaystyle{ z\gg R,\ z\ll R}\). Wykaż że elektron poruszający się wzdłuż osi tego pierścienia może wykonywać drgania harmoniczne. Wyznacz ich częstotliwość.

wykonaj całkowanie po całej długości pierścienia

Oczywiście żadne poważne całkowanie nie jest tu konieczne. Z symetrii sytuacji wiadomo, że pole elektrostatyczne ma niezerową tylko składową \(\displaystyle{ z}\). Każdy pojedynczy ładunek \(\displaystyle{ q_i}\) daje przyczynek do tej składowej, równy
\(\displaystyle{ \frac{kq_iz}{(R^2+z^2)^{\frac32}}}\).

Po zsumowaniu pola pochodzącego od wszystkich ładunków, mamy:
\(\displaystyle{ E_z(z)=\frac{kqz}{(R^2+z^2)^{\frac32}}}\).

Gdy \(\displaystyle{ z\gg R}\), to możemy zaniedbać \(\displaystyle{ R}\) i dostajemy \(\displaystyle{ E_z(z)=kqz^{-2}}\).

Gdy \(\displaystyle{ z\ll R}\), to zaniedbujemy \(\displaystyle{ z}\) w mianowniku i mamy

\(\displaystyle{ \frac{kqz}{R^3}}\).

Z tymi drganiami harmonicznymi to niestety bzdura. Co prawda dla małych \(\displaystyle{ z}\) siła działająca na elektron znajdujący się na osi \(\displaystyle{ z}\) jest równa:

\(\displaystyle{ F_z(z)=-\frac{keq}{R^3}z}\),

ale punkt \(\displaystyle{ (0,0,0)}\) jest położeniem równowagi chwiejnej (punkt siodłowy). Aby taki ruch istniał, trzeba dodatkowo w jakiś sposób utrzymywać elektron na osi \(\displaystyle{ z}\). W tym celu trzeba by było wprowadzić dodatkową siłę, której nie uwzględniliśmy w poprzednich rachunkach, więc całe zadanie trzeba by zrobić od nowa.