[analiza] obliczenie całki

Tu lądują tematy, które nie spotkały się z uznaniem ekipy moderującej. Wejdź i zobacz, w jaki sposób pisać nie należy ;-)
Jeśli widzisz tu swój temat, a nie jest on zablokowany - możesz go poprawić na regulaminowy i poprosić moderatora o przywrócenie. Skopiowanie swojego postu z Kosza bez żadnej korekty jest równoznaczne z otrzymaniem ostrzeżenia.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3870
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 380 razy

[analiza] obliczenie całki

Post autor: arek1357 » 23 mar 2020, o 22:51

Podstawmy:

\(\displaystyle{ y=f(x)}\)

Wyliczmy, \(\displaystyle{ y}\)

\(\displaystyle{ y= \frac{1}{2x^2}y'^2- \frac{1}{2x} }\)

Zróbmy podstawienia:

\(\displaystyle{ y'=t }\) , będzie teraz:

\(\displaystyle{ \varphi(x,t)=\frac{1}{2x^2}t^2- \frac{1}{2x} }\)

Mamy obliczyć:

\(\displaystyle{ F(t)= \int_{1}^{t} \left( \frac{1}{2x^2}y'^2- \frac{1}{2x} \right) dx}\)

Jest taki wzorek ładny, a mianowicie:

(*) \(\displaystyle{ F'(t)=\frac{d}{dt} \int_{a}^{t} \varphi(x,t) dx= \int_{a}^{t}\varphi_{|t}'dx +\varphi(t,t)}\)

mamy tu:

\(\displaystyle{ a=1, \varphi_{|t}'= \frac{1}{x^2}t}\)

\(\displaystyle{ \varphi(t,t)= \frac{1}{2}- \frac{1}{2t} }\)

Po podstawieniu mamy:

\(\displaystyle{ F'(t)= \int_{1}^{t} t\frac{1}{x^2}dx + \frac{1}{2}- \frac{1}{2t}}\)

Po scałkowaniu mamy:

\(\displaystyle{ F'(t)=t- \frac{1}{2t}- \frac{1}{2} }\)

Z tego mamy po dalszym scałkowaniu względem: \(\displaystyle{ t}\)

Otrzymamy:

\(\displaystyle{ F(t)= \frac{1}{2}t^2- \frac{1}{2} \ln t - \frac{1}{2}t}\)

\(\displaystyle{ F(4)= \int_{1}^{4}ydx=6-\ln 2 }\)
Ostatnio zmieniony 24 mar 2020, o 00:16 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Usunięto na prośbę autora.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

ODPOWIEDZ