Rozprężanie gazu przy zmianie temperatury

MrMichael123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 25 cze 2015, o 20:07
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 5 razy

Rozprężanie gazu przy zmianie temperatury

Post autor: MrMichael123 »

Witam, potrzebuję pomocy (wystarczy teoretyczna) z następującym zadaniem:
Założywszy, że \(\displaystyle{ SO _{2}}\) spełnia równanie van der Waalsa, obliczyć zmianę energii wewnętrznej 2 moli gazu w procesie ogrzewania tego gazu z \(\displaystyle{ 300K}\) do \(\displaystyle{ 500K}\) z równoczesnym rozprężeniem go od \(\displaystyle{ 0,25}\) do \(\displaystyle{ 4 m ^{3}}\). Przyjmij:
\(\displaystyle{ a= 0,68}\)
\(\displaystyle{ b=56,4}\)
molowa pojemność cieplna = \(\displaystyle{ 47,71 + 7,17 \cdot 10 ^{-3}T - 8,47 \cdot 10 ^{5} T ^{-2} J \cdot K ^{-1} \cdot mol ^{-1}}\)

Nie mam pomysłu jak do tego podejść, zmiana temperatury wpływa na pracę związaną z objętością a objętość na oddane ciepło. Myślę że trzeba wykorzystać całkę podwójną lecz nie wiem jak wyprowadzić takowy wzór.
Z góry dziękuję za pomoc
Ostatnio zmieniony 23 kwie 2016, o 20:12 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Wartości wielkości fizycznych także zapisujemy w LateXu.
Pablo82
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 356
Rejestracja: 31 maja 2015, o 19:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 79 razy

Rozprężanie gazu przy zmianie temperatury

Post autor: Pablo82 »

MrMichael123

1. Należałoby określić z jaką przemianą mamy do czynienia. Przemiana określona w zadaniu nie jest ani izotermiczną ani izochoryczną ( co wynika z danych do zadania ) zatem badamy, czy jest izobaryczną. Po podstawieniu danych do oczywistych wzorów zobaczymy, że przemiana nie może być izobaryczna. Czy przemiana może być adiabatyczna ? Po podstawieniu danych do oczywistych wzorów dla tej przemiany oraz przyjmując współczynnik \(\displaystyle{ k = 1,667}\) ( jak dla gazów wieloatomowych ) zobaczymy, że przemiana nie może być adiabatyczna. Zatem zostaje tylko wniosek, że przemiana musi być politropowa. Po podstawieniu danych wyliczymy, że mogłaby być to przemiana politropowa z wykładnikiem politropy \(\displaystyle{ z = 0,8157}\). Wyliczenia:
\(\displaystyle{ ( V_1/V_2 )^{z-1} = T_2/T_1}\) ( wzór powszechnie dostępny )
\(\displaystyle{ ( 0,25/4 )^{z-1} = 500/300}\)
\(\displaystyle{ Z = 0,8157}\)
2. Doskonale wiesz, że w przemianach termodynamicznych liczy się stan „po i przed” a nie to co było „po drodze”. W związku z tym wyliczenie zmiany energii wewnętrznej gazu możesz obliczyć na dwa sposoby:
3. Sposób 1 odwołuje się wprost do wzoru na zmianę energii wewnętrznej dla przemiany politropowej: \(\displaystyle{ \Delta u_{1-2} = c_v ( T_2 – T_1 )}\) – i jest to w odniesieniu do \(\displaystyle{ 1}\) mola gazu. Pojemność cieplna \(\displaystyle{ c_v}\) jest pewna funkcją temperatury ( zdefiniowaną w zadaniu ) zatem poprzez scałkowanie tej wielkości od \(\displaystyle{ T_1 = 300}\) do \(\displaystyle{ T_2 = 500}\) uzyskamy jej wielkość.
Całkując \(\displaystyle{ c_v}\) określonymi w zadaniu w granicach całkowania, otrzymujemy:\(\displaystyle{ c_v = 8108 J/molK}\). Niedorzeczny jest to wynik…
Tutaj pytanie: w treści zadania przytoczonym przez Ciebie oraz we wzorze na molową pojemność cieplną występuje trzeci składnik w funkcji temperatury będącej do potęgi \(\displaystyle{ 5}\)? Myślę, że jest to literówka i powinno być do potęgi \(\displaystyle{ -5}\), bo inaczej jest to niedorzeczne.
Następne pytanie: we wzorze na molową pojemność cieplną ten pierwszy składnik ( niezależny od temperatury ) wynosi \(\displaystyle{ 47,71}\) ? Niedorzeczny jest to wynik. Nawet przyjmując cechy gazu jako rzeczywistego ( i są tu odstępstwa w stosunku do gazu doskonałego, co ujęte jest w równaniu van der Waalsa ) to w określonym w zadaniu zakresie zmienności objętości i temperatury niewiele odchodzimy od równań dla gazu doskonałego.
Możliwe jest także, że w zadaniu podano już scałkowaną wartość dla ciepła molowego gdyż w treści zadania jest: „molowa pojemność ciepła =…). Zatem należy przeliczyć ją w granicach całkowania od \(\displaystyle{ T_1 = 300}\) do \(\displaystyle{ T_2 = 500}\). Nadal wychodzą wartości niedorzeczne
4. Ale OK. Matematyka jest tak pojemna, że może obliczać wartości niedorzeczne z punktu widzenia fizyki. Matematyka może wszystko…
5. Sposób 2 odwołuje się do I zasady termodynamiki: \(\displaystyle{ \Delta u_{1=2} = q_{1-2} – l_{1-2}}\). Możesz tutaj obliczyć zarówno pracę jak i ciepło i wstawić do powyższego wzoru – i wyjdzie to samo.
6. Moja uwaga: powinieneś podejść krytycznie do treści zadania w sensie oceny wartości liczbowych. Tak jak powiedziałem w pkt. 4 – matematyka może wszystko, ale fizyka już nie. Gdyby ująć to matematycznie to matematyce jest wszystko jedno czy powierzchnia Azji wynosi \(\displaystyle{ 1 km^2}\), czy stała grawitacyjna Ziemi wynosi \(\displaystyle{ 1 m/s^2}\), czy objętość \(\displaystyle{ 1 mola}\) gazu doskonałego wynosi \(\displaystyle{ 1 m^3}\), czy masa atomu wodoru wynosi \(\displaystyle{ 1 tonę}\). Matematyka poradzi sobie ze wszystkimi, nawet z najbardziej abstrakcyjnymi wielkościami. Jednak w fizyce mamy spore ograniczenia. Musimy odnosić się do wielkości mierzalnych ( lub teoretycznie przewidywalnych ) a zatem w jakimś stopniu ograniczonych.
7. To powoduje, że jak „termodynamik” słyszy, że ciepło właściwe gazu wieloatomowego wynosi np. \(\displaystyle{ 47,71}\) ( jak w rzeczonym zadaniu ) to zapala się przed nim wielka, czerwona i ostrzegawcza lampka… To tak samo, że przyspieszenie grawitacyjne Ziemi miałoby wynosić \(\displaystyle{ 6 m/s^2}\)

Powtórzę dla ustalenia uwagi: jak ciepło molowe ( jakiegokolwiek gazu rzeczywistego lub doskonałego wynosi - według opinii takiego czy innego autora zadania - wynosi \(\displaystyle{ 47,7 J/molK}\) - to jest to niedorzeczne.
ODPOWIEDZ