Dane są 2 stopy - miedź i cynk, w pierwszym stopie stosunek tych metali wynosi 1:2, a w drugim 2:3, ile kilogramów każdego stopu należy użyć, by otrzymać 10 kg stopu miedzi i cynku w stosunku p.
Proszę o pomoc, kompletnie nie wiem jak ugryźć to zadanie.
Stosunki stopów
-
pesel
- Użytkownik
- Posty: 1707
- Rejestracja: 8 cze 2010, o 13:09
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 412 razy
Stosunki stopów
Mamy stosunki masowe składnika \(\displaystyle{ 1}\) (w zadaniu miedź) i składnika \(\displaystyle{ 2}\) (w zadaniu cynk), zdefiniowane następująco:
\(\displaystyle{ p_{stop1}=p_{1}= \frac{m_{1}^{stop1}}{m_{2}^{stop1}}}\)
\(\displaystyle{ p_{stop2}=p_{2}= \frac{m_{1}^{stop2}}{m_{2}^{stop2}}}\)
\(\displaystyle{ p_{misz}=p= \frac{m_{1}^{miesz}}{m_{2}^{miesz}}}\)
Zamieńmy stosunki masowe na ułamki masowe.
\(\displaystyle{ u_{1}^{m}= \frac{p_{1}}{p_{1}+1 }}\)
\(\displaystyle{ u_{2}^{m}= \frac{p_{2}}{p_{2}+1 }}\)
\(\displaystyle{ u_{miesz}^{m}= \frac{p}{p+1 }}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ p_{1} \le p \le p_{2}}\)
Lub jak kto woli:
\(\displaystyle{ u_{1}^{m} \le u_{miesz}^{m} \le u_{2}^{m}}\)
Załóżmy, że:
\(\displaystyle{ m=m_{stop1}+m_{stop2}}\)
Z reguły mieszania roztworów mamy:
\(\displaystyle{ \frac{m_{stop1}}{m_{stop2}}=\frac{m_{stop1}}{m-m_{stop1}}= \frac{u_{2}^{m}-u_{miesz}^{m}}{u_{miesz}^{m}-u_{1}^{m}}= \frac{\frac{p_{2}}{p_{2}+1 }-\frac{p}{p+1 }}{\frac{p}{p+1 }- \frac{p_{1}}{p_{1}+1 }}= \frac{(p_{2}-p)(p_{1}+1)}{(p_{2}+1)(p-p_{1})}}\)
Po przekształceniach:
\(\displaystyle{ m_{stop1}=m \cdot \frac{(p_{2}-p)(p_{1}+1)}{(p_{2}-p_{1})(p+1)}}\)
Dla naszego zadania:
\(\displaystyle{ m_{stop1}=10 \cdot \frac{( \frac{2}{3} -p)( \frac{1}{2} +1)}{( \frac{2}{3} - \frac{1}{2} )(p+1)}= \frac{60-90p}{p+1}=60-150 \frac{p}{p+1}}\)
\(\displaystyle{ m_{stop2}=m-m_{stop1}=10-\frac{60-90p}{p+1}= \frac{100p-50}{p+1}=150 \frac{p}{p+1}-50}\)
Mając ciągle w pamięci warunek:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \le p \le \frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ p_{stop1}=p_{1}= \frac{m_{1}^{stop1}}{m_{2}^{stop1}}}\)
\(\displaystyle{ p_{stop2}=p_{2}= \frac{m_{1}^{stop2}}{m_{2}^{stop2}}}\)
\(\displaystyle{ p_{misz}=p= \frac{m_{1}^{miesz}}{m_{2}^{miesz}}}\)
Zamieńmy stosunki masowe na ułamki masowe.
\(\displaystyle{ u_{1}^{m}= \frac{p_{1}}{p_{1}+1 }}\)
\(\displaystyle{ u_{2}^{m}= \frac{p_{2}}{p_{2}+1 }}\)
\(\displaystyle{ u_{miesz}^{m}= \frac{p}{p+1 }}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ p_{1} \le p \le p_{2}}\)
Lub jak kto woli:
\(\displaystyle{ u_{1}^{m} \le u_{miesz}^{m} \le u_{2}^{m}}\)
Załóżmy, że:
\(\displaystyle{ m=m_{stop1}+m_{stop2}}\)
Z reguły mieszania roztworów mamy:
\(\displaystyle{ \frac{m_{stop1}}{m_{stop2}}=\frac{m_{stop1}}{m-m_{stop1}}= \frac{u_{2}^{m}-u_{miesz}^{m}}{u_{miesz}^{m}-u_{1}^{m}}= \frac{\frac{p_{2}}{p_{2}+1 }-\frac{p}{p+1 }}{\frac{p}{p+1 }- \frac{p_{1}}{p_{1}+1 }}= \frac{(p_{2}-p)(p_{1}+1)}{(p_{2}+1)(p-p_{1})}}\)
Po przekształceniach:
\(\displaystyle{ m_{stop1}=m \cdot \frac{(p_{2}-p)(p_{1}+1)}{(p_{2}-p_{1})(p+1)}}\)
Dla naszego zadania:
\(\displaystyle{ m_{stop1}=10 \cdot \frac{( \frac{2}{3} -p)( \frac{1}{2} +1)}{( \frac{2}{3} - \frac{1}{2} )(p+1)}= \frac{60-90p}{p+1}=60-150 \frac{p}{p+1}}\)
\(\displaystyle{ m_{stop2}=m-m_{stop1}=10-\frac{60-90p}{p+1}= \frac{100p-50}{p+1}=150 \frac{p}{p+1}-50}\)
Mając ciągle w pamięci warunek:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \le p \le \frac{2}{3}}\)