Chemiczno-matematyczny problem praktyczny

yascoos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 2 gru 2013, o 03:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Chemiczno-matematyczny problem praktyczny

Post autor: yascoos »

Witam forumowiczów

To mój pierwszy post na forum wiec proszę o wyrozumiałość i ewentualne przeniesienie go do właściwego działu.

Jakiś czas temu kolega pracujący w firmie chemicznej poprosił mnie o pomoc w rozwiązaniu pewnego problemu. On głowi się nad tym od kilku miesięcy, ja od miesiąca, i także nic ciekawego nie wpadło mi do głowy, stąd pomysł aby szukać porady tutaj.

Otóż firma owa produkuje różnego rodzaju środki chemiczne, które są w rzeczywistości roztworami wodnymi różnych związków. Produkcja jest ciągła, czyli cały czas coś leci z, powiedzmy, pięciu rur i 'spotyka' się w zbiorniku produktu gotowego.
Okresowo, kontrola jakości pobiera próbkę i określa czy stężenia określonych składników w gotowym produkcie mieszczą się w normie czy może należy dokonać korekt w ilości jednego lub więcej dozowanych surowców w stosunku do pozostałych.

I tutaj zaczyna się problem...

Zwiększenie lub zmniejszenie ilości wejściowej jednego lub więcej surowców (roztworów) pociąga za sobą wzrost lub spadek stężenia jednego ze składników (w roztworze końcowym) ale, w oczywisty sposób wpływa także na zawartość pozostałych, poprzez zmianę wzajemnych proporcji dozowanych roztworów.

Żeby nieco rozjaśnić posłużę się przykładem:

SUROWCE (każdy z surowców jest roztworem wodnym, zawierającym tylko jakiś procent wagowy potrzebnego nam składnika):

Kod: Zaznacz cały

roztwór nr 1: zawiera 17% wagowych składnika A
           2:         30%                    B
           3:         20%                    C
           4:         55%                    D
           5:         32%                    A
Dwukrotna obecność składnika A w surowcach nie jest pomyłką. Często zdarza się, że dany składnik pochodzi z więcej niż jednego roztworu.

DOZOWANIE (dozujemy powyższe w sposób ciągły w następujących ilościach):

Kod: Zaznacz cały

roztwór nr 1 (zawierający składnik A) dozowany w ilości: 37,5 kg/min.
           2                       B                     25
           3                       C                     12,5
           4                       D                     75
           5                       A                     50
Przy zachowaniu podanych stężeń i ilości na wyjściu otrzymujemy następujący roztwór końcowy:

Kod: Zaznacz cały

8,95% wag. - składnika A
3,00%                  B
1,00%                  C
16,50%                 D
Niestety, nagminnie zdarza się, że oznaczony w laboratorium kontroli jakości skład otrzymanego roztworu końcowego różni się od obliczonego. Przyczyny takiego stanu rzeczy może być wiele, np. rożny od założonego skład roztworów surowcowych, nieprecyzyjne dozowanie itp. Zachodzi wtedy konieczność dokonania zmian w ilościach dozowanych surowców, tak aby osiągnąć wymaganą zawartość każdego ze składników w roztworze końcowym. Pamiętać należy, że korekty owe są dokonywane 'na ruchu' tzn. cały czas trwa proces produkcji.

Kod: Zaznacz cały

Np.:  porządany skład: 8,95 | 3,0 | 1,0  | 16,5
       wynik kontroli: 9,1  | 3,2 | 0,9  | 16,4

    niezbędna korekta: -1%  | -5% | +10% | +1%   <- korekty przykładowe, proszę nie sugerować się tymi wartościami
Jaką metodę matematyczną, prawo, zasadę lub ich kompilację zastosować aby możliwe było precyzyjne wyliczenie niezbędnych korekt (najlepiej procentowo w stosunku do pierwotnie dozowanej ilości) w ilości dozowanego jednego lub więcej roztworów surowcowych (stężenie roztworów wejściowych jest zawsze stałe) aby na wyjściu otrzymać produkt o pożądanym składzie?

Idealnym rozwiązaniem byłaby możliwość ujęcia rozwiązania matematycznego w postaci arkusza kalkulacyjnego.

Dziękuję z góry za pomoc w rozwiązaniu lub choćby sugestie jak je osiągnąć.

Pozdrawiam!
Powermac5500
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 323
Rejestracja: 3 sty 2013, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 62 razy

Chemiczno-matematyczny problem praktyczny

Post autor: Powermac5500 »

Moim zdaniem potrzebna jest aktualna ilość produktu końcowego.
I prędkość dozowania poszczególnych składników.

Poza tym, jeśli skład jest błędny to nie wystarczy jedna poprawka.
Poprawka co najwyżej po pewnym czasie \(\displaystyle{ \Delta t}\) doprowadzi do właściwego stężenia, później trzeba znowu przestawić dozowanie na nazwijmy to nominalne..
yascoos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 2 gru 2013, o 03:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Chemiczno-matematyczny problem praktyczny

Post autor: yascoos »

Witaj,

Dziękuję za zainteresowanie tematem.

Dla uproszczenia możemy oczywiście założyć sobie, że produkujemy np. 100 ton produktu gotowego lub jakakolwiek inną ilość, a wyniki kontroli jakości dostajemy powiedzmy po wyprodukowaniu 30 ton "zepsutego" produktu. Jednakże uproszczenie będzie tylko pozorne bo i tak należy obliczyć skład 'nowego' roztworu, który po z mieszaniu z już wyprodukowanym, da nam w końcowym efekcie roztwór o właściwym składzie.
Ilość dozowanych surowców także można sobie założyć, choć na potrzeby przykładu podałem jakieś ilości w kg/h, można zastosować dm3/h lub inną jednostkę czasu - także nie powinno mieć to większego znaczenia, chyba że uprości komuś obliczenia.
Co do poprawki po pewnym czasie to oczywiście masz rację, choć znów możemy założyć sobie, że jakaś ilość 'zepsutego' produktu już pojechała do klienta i zapominamy o niej, chcąc od danej chwili produkować już tylko 'dobry' produkt.

Pozdrawiam!
Powermac5500
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 323
Rejestracja: 3 sty 2013, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 62 razy

Chemiczno-matematyczny problem praktyczny

Post autor: Powermac5500 »

Pewnie trzeba by zacząć od jakiegoś prostego modelu.


\(\displaystyle{ a"= \frac{a' \cdot P+a \cdot t \cdot V_{a}}{P+\left( V_{a}+V_{b}+V_{c}+V_{d}\right) \cdot t }}\)

Oznaczenia:

\(\displaystyle{ a'}\) - stężenie w chwili kontroli substancji A
\(\displaystyle{ a"}\) - stężenie substancji A po czasie t
\(\displaystyle{ a}\) - stężenie substancji A w podawanym rurą roztworze
\(\displaystyle{ V_{a}}\) - prędkość podawania substancji A
\(\displaystyle{ P}\) - ilość produktu w chwili kontroli

I analogicznie dla pozostałych substancji:

\(\displaystyle{ b"= \frac{b' \cdot P+b \cdot t \cdot V_{b}}{P+\left( V_{a}+V_{b}+V_{c}+V_{d}\right) \cdot t }}\)
i tak dalej

Mamy 4 równania z 4 niewiadomymi: prędkościami podawania lub stężeniami podawania.
Oraz parametrem czas.
I teraz pytanie czym możemy regulować?
Prędkością podawania? - to chyba jest prostsze. Zakładamy jakiś czas i rozwiązujemy układ 4 równań wyliczając prędkości podawania.
Zapewne są jakieś ograniczenia.

Oczywiście trzeba tez uwzględnić pewien poślizg w czasie od chwili kontroli do momentu zaaplikowania zmian.
pesel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1707
Rejestracja: 8 cze 2010, o 13:09
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 412 razy

Chemiczno-matematyczny problem praktyczny

Post autor: pesel »

Było podane, że regulujemy przepływami, a nie stężeniami.

Wygląda na to, że masz 4 równania i 5 niewiadomych (czas i 4 przepływy). Układ jest nieoznaczony. Ja bym wyznaczył czas jako funkcję przepływów a następnie minimalizował ją tak aby zrealizować cel w jak najkrótszym czasie bądź przy jak najmniejszym iloczynie (czas*sumaryczny przepływ). Na pewno są jakieś ograniczenia na przepływy maksymalne, objętość (masę) końcową mieszaniny (zbiorniki) oraz czas realizacji zadania co może spowodować, że nasz układ równań może być jednoznaczny albo sprzeczny (bo rozwiązań nie poszukujemy w całym zbiorze liczb rzeczywistych a tylko w zbiorze liczb nieujemnych ograniczonych dodatkowo od góry względami technologicznym). IMO może się okazać, że w niektórych wypadkach "będzie pozamiatane".

A tak na marginesie. Oczywiście jest możliwość aby wprowadzać również czysty rozpuszczalnik (wodę)?
Powermac5500
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 323
Rejestracja: 3 sty 2013, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 62 razy

Chemiczno-matematyczny problem praktyczny

Post autor: Powermac5500 »

Sądzę, że spokojnie można uznać czas za stałą co powoduje, że układ jest rozwiązywalny.

Na przykład chcemy osiągnąć założone stężenie przed wydaniem towaru do klienta, a to zapewne jest znane.
pesel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1707
Rejestracja: 8 cze 2010, o 13:09
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 412 razy

Chemiczno-matematyczny problem praktyczny

Post autor: pesel »

Jak założymy czas to układ matematycznie będzie jednoznaczny ale rozwiązaniami mogą być niefizyczne wartości ujemne bądź wartości przekraczające techniczne możliwości realizacji problemu (mówiąc kolokwialnie zbyt duże).

BTW, napisałem, że niewiadomymi są czas i przepływy a więc finalne stężenia są znane.
Powermac5500
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 323
Rejestracja: 3 sty 2013, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 62 razy

Chemiczno-matematyczny problem praktyczny

Post autor: Powermac5500 »

Wiadomo, że z 2,5% nie otrzymamy 3%.

Problem generalnie jest ciekawy i jeśli rzeczywiście realny ro dziwię się, że nikt go do tej pory nie rozwiązał
pesel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1707
Rejestracja: 8 cze 2010, o 13:09
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 412 razy

Chemiczno-matematyczny problem praktyczny

Post autor: pesel »

O właśnie (chyba, że usuniemy rozpuszczalnik ale o tym cisza w przykładzie). Coś jak w zadaniu. Zosia ma 12 lat a Piotrek jest o 15 lat młodszy. Ale nie tylko tak drastyczny przykład można podać.

A tak poważnie to problem jest rozwiązany. W rafineriach miesza się strumienie różnych frakcji z kolumny tak aby uzyskać produkt o konkretnych parametrach przy czym tych parametrów jest o niebo więcej i dodatkowo nie wszystkie są liniowo zależne od stężeń, mas, objętości.
Awatar użytkownika
kropka+
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4389
Rejestracja: 16 wrz 2010, o 14:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 787 razy

Chemiczno-matematyczny problem praktyczny

Post autor: kropka+ »

yascoos pisze: Przy zachowaniu podanych stężeń i ilości na wyjściu otrzymujemy następujący roztwór końcowy:

Kod: Zaznacz cały

8,95% wag. - składnika A
3,00%                  B
1,00%                  C
16,50%                 D
Rozumiem, że tych stężeń na wyjściu nie policzyłeś z podanych danych, tylko wpisałeś cokolwiek (nic się nie zgadza).
Mam pytania:
1. Ile czasu oczekuje się na wyniki kontroli? - gdy ją wykonano w zbiorniku było już 30 ton, a ponieważ produkuje się 200kg/min to za niecałe 6 godzin zbiornik będzie pełny.
2. Czy przy zakupie jakiegokolwiek roztworu badana jest w nim zawartość odpowiedniego składnika?
Jeśli tak to czy dostosowuje się dawkowania wszystkich roztworów, aby produkt końcowy miał pożądany skład?
3. Czy w dowolnym momencie można przerwać dawkowanie jednego lub więcej roztworów?
4. Czy rozpuszczalniki w roztworach są takie same, a jeśli nie są, to czy proporcje między rozpuszczalnikami w produkcie gotowym są istotne?
yascoos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 2 gru 2013, o 03:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Chemiczno-matematyczny problem praktyczny

Post autor: yascoos »

Witam wszystkich ponownie!

Dziękuję jeszcze raz za tak szeroki odzew i spieszę z wyjaśnieniami i dodatkowymi informacjami.
Powermac5500 pisze:Mamy 4 równania z 4 niewiadomymi: prędkościami podawania lub stężeniami podawania.
Oraz parametrem czas.
I teraz pytanie czym możemy regulować?
Prędkością podawania? - to chyba jest prostsze. Zakładamy jakiś czas i rozwiązujemy układ 4 równań wyliczając prędkości podawania.
Zapewne są jakieś ograniczenia.
Dziś już nieco późno ale jutro postaram sie pobawić Twoim wywodem i spróbuję policzyć coś tą metodą.
W odpowiedzi: regulować możemy jedynie wielkością strumienia każdego z roztworów, w zakresie możliwości urządzeń dozujących. Z tego co mi wiadomo to jest to zakres od -25% do +25% każdego ze składników.
pesel pisze:Na pewno są jakieś ograniczenia na przepływy maksymalne, objętość (masę) końcową mieszaniny (zbiorniki) oraz czas realizacji zadania co może spowodować, że nasz układ równań może być jednoznaczny albo sprzeczny (bo rozwiązań nie poszukujemy w całym zbiorze liczb rzeczywistych a tylko w zbiorze liczb nieujemnych ograniczonych dodatkowo od góry względami technologicznym).
Ograniczenia oczywiście są ale dla naszych potrzeb możemy założyć, że mamy nieskończoną możliwość regulowania dozowaną ilością poszczególnych surowców. Włącznie z sytuacją gdzie wyłączamy dozowanie jednego lub więcej.
pesel pisze:IMO może się okazać, że w niektórych wypadkach "będzie pozamiatane".
Oj! Gdyby udało się matematycznie dowieść, że mogą zaistnieć sytuacje, w których żadne korekty w dozowaniu surowców już nie pomogą i wyprodukowana ilość nie spełnia norm to... by dopiero było!
pesel pisze:A tak na marginesie. Oczywiście jest możliwość aby wprowadzać również czysty rozpuszczalnik (wodę)?
Niestety nie ma takiej możliwości. Stężenia roztworów są stałe i niezmienne.
Powermac5500 pisze:Problem generalnie jest ciekawy i jeśli rzeczywiście realny ro dziwię się, że nikt go do tej pory nie rozwiązał
Nawet bardzo ciekawy I jak się okazuje zadał klina już kliku dyplomowanym głowom.
kropka+ pisze:Rozumiem, że tych stężeń na wyjściu nie policzyłeś z podanych danych, tylko wpisałeś cokolwiek (nic się nie zgadza).
Do obliczeń przykładowych użyłem gotowego arkusza, który końcowe stężenia podaje nie w procentach wagowych, jakimi się tutaj zajmujemy, ale przelicza je na, nazwijmy to, procenty wagowe branżowe. Poza tym wszystko się zgadza.
kropka+ pisze:Ile czasu oczekuje się na wyniki kontroli? - gdy ją wykonano w zbiorniku było już 30 ton, a ponieważ produkuje się 200kg/min to za niecałe 6 godzin zbiornik będzie pełny.
Dla naszych potrzeb możemy śmiało założyć, że wyniki konrtolne otrzymujemy natychmiast a zbiornik gotowego produktu ma nieskończona objętość.
kropka+ pisze:Czy przy zakupie jakiegokolwiek roztworu badana jest w nim zawartość odpowiedniego składnika?
Oczywiście. Zawartość tego składnika jest znana i uwzględniana przy obliczaniu receptury.
kropka+ pisze:Jeśli tak to czy dostosowuje się dawkowania wszystkich roztworów, aby produkt końcowy miał pożądany skład?
Jak wyżej.
kropka+ pisze:Czy w dowolnym momencie można przerwać dawkowanie jednego lub więcej roztworów?
Tak
kropka+ pisze:Czy rozpuszczalniki w roztworach są takie same, a jeśli nie są, to czy proporcje między rozpuszczalnikami w produkcie gotowym są istotne?
Rozpuszczalnikiem zawsze jest woda i nie ma możliwości jej dozowania do zbiornika produktu gotowego. Cała woda w produkcie gotowym pochodzi tylko z roztworów surowcowych.


Pozdrawiam!
Awatar użytkownika
kropka+
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4389
Rejestracja: 16 wrz 2010, o 14:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 787 razy

Chemiczno-matematyczny problem praktyczny

Post autor: kropka+ »

Co to są procenty wagowe branżowe?
yascoos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 2 gru 2013, o 03:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Chemiczno-matematyczny problem praktyczny

Post autor: yascoos »

kropka+ pisze:Co to są procenty wagowe branżowe?
Miałem na myśli określenie zawartości jakiegoś składnika w mieszaninie w przeliczeniu na jego odpowiednik, np. zawartość fosforu w przeliczeniu na P2O5.

Pozdrawiam!
Awatar użytkownika
stojekl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 2 cze 2013, o 18:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 17 razy

Chemiczno-matematyczny problem praktyczny

Post autor: stojekl »

Nie wydaje mi się to takie oczywiste czy można to policzyć, bo jeżeli mamy (dwa surowce) spadek stężenia A i wzrost B w produkcie, to nie jesteśmy w stanie powiedzieć czy to A płynie za mało, czy B za dużo, oczywiście jeśli nie dysponujemy przepływomierzem, ale gdy mamy przepływomierz to jeżeli parametry surowców są stałe i niezmienne, i nie zachodzi żadna reakcja to Twój problem jest niepraktyczny, bo można go rozwiązać dużo prościej:

-Zakładamy że mamy do czynienia ze stanem ustalonym,
-na podstawie znanych parametrów surowca obliczamy konieczny stosunek przepływów aby otrzymać właściwy produkt,
-na dopływach dajemy elektrozawory i przepływomierze
-każdy elektrozawór regulujemy sterownikiem PID
i koniec. Nawet laboratorium nie ma za dużo do roboty. Oczywiście zawsze będą jakieś odchylenia ale w długim okresie i przy odpowiednich nastawach regulatorów będą minimalne.

Ja to widzę tak, ale jakiś specjalista od IChiP-u powinien się wypowiedzieć.

Edycja:
Można jeszcze próbować tak:
\(\displaystyle{ G_A(t) = G^{0}_{A}+U_{A}(t)}\) - przepływ A w chwili t, gdzie \(\displaystyle{ G^{0}_{A}}\) oznacza przepływ "nominalny" a \(\displaystyle{ U_{A}(t)}\) uchyb w chwili t, analogicznie mamy:
\(\displaystyle{ G_B(t) = G^{0}_{B}+U_{B}(t)}\), oraz
\(\displaystyle{ G_C(t) =G_A(t)+G_B(t)= G^{0}_{C}+U_{C}(t) = G^{0}_{C}+U_{A}(t)+U_{B}(t)}\) w stanie ustalonym (c to strumień odprowadzający ze zbiornika o parametrach \(\displaystyle{ c_A(t) , \ c_B(t)}\) i o przepływie nominalnym \(\displaystyle{ G^{0}_{C} =G^{0}_{A}+G^{0}_{B}}\)

Z zachowania masy mamy:
\(\displaystyle{ G_A(t) c^{0}_{A} = G_C(t) c_A(t)}\)
\(\displaystyle{ G_B(t) c^{0}_{B} = G_C(t) c_B(t)}\)

z czego możemy dojśc do układu:
\(\displaystyle{ c_A(t) = \frac{(G^{0}_{A}+U_{A}(t))c^{0}_{A}}{G^{0}_{A}+G^{0}_{B}+U_{A}(t)+U_{B}(t)}}\)
\(\displaystyle{ c_B(t) = \frac{(G^{0}_{B}+U_{B}(t))c^{0}_{B}}{G^{0}_{A}+G^{0}_{B}+U_{A}(t)+U_{B}(t)}}\)
Co oznaczałoby, że znając przepływy nominalne oraz stężenia na wylocie można wyznaczyć uchyb regulacji A i B, ale myślę że gdzieś tu jest jakaś tożsamość której nie widzę albo rozwiązania będą tylko przy bezsensownych założeniach, typu stężenie na wyjściu większe niż na wejściu.
Awatar użytkownika
kropka+
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4389
Rejestracja: 16 wrz 2010, o 14:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 787 razy

Chemiczno-matematyczny problem praktyczny

Post autor: kropka+ »

Dobra. Ponieważ nie wiem jak przeliczać te procenty branżowe na zwykłe procenty wagowe, to pozostawię to Wam.
Biorę pod uwagę tylko dwie pierwsze tabelki podane przez Ciebie. Załóżmy, że kontrola była przeprowadzona, gdy w zbiorniku było 100kg mieszaniny. Wtedy powinno być:

\(\displaystyle{ 3,1875kg \ A _{1} \\
3,75kg \ B \ i \ 8,75kg \\
1,25kg \ C \ i \ 5kg \\
20,625kg \ D \ i \ 16,875kg \\
8kg \ A _{5} \ i \ 17kg\\}\)


(wiemy, że \(\displaystyle{ A=A _{1}+A _{5}}\), więc A powinno być \(\displaystyle{ 3,1875+8=11,1875}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{A _{1} }{A _{5} }=0,3984375}\))

A jest tyle (składnik w kg):

\(\displaystyle{ A:10,6875\\
B:3,37\\
C:1,335\\
D:20,431\\}\)


Liczymy różnice pomiędzy tym co wykazała kontrola a tym co powinno być:

\(\displaystyle{ A:-0,5\\
B:-0,38\\
C:0,085\\
D:-0,194}\)


Bierzemy surowiec, który ma największy nadmiar czyli C ( u nas przypadkiem tylko C ma nadmiar, ale to nie ma znaczenia) i liczymy proporcje ilości tego składnika do pozostałych w mieszaninie prawidłowej, Czyli mamy:


\(\displaystyle{ \frac{C}{A}= 0,111731844\\ \\
\frac{C}{B} =0,333333333\\ \\
\frac{C}{C}=1\\ \\
\frac{C}{D}= 0,060606061}\)


Teraz liczymy ile trzeba dołożyć pozostałych składników, żeby "dogoniły" C.
Liczymy to tak:

dokładka \(\displaystyle{ A= \frac{1,335}{0,111731844}-10,6875=1,26075kg}\)
i analogicznie dla pozostałych składników:

dokładka \(\displaystyle{ B=0,635}\)
dokładka \(\displaystyle{ D=1,5965}\)

Z tego łatwo policzyć ile kilogramów roztworów 2, i 4 trzeba dołożyć. Dla A liczymy to z proporcji podanej wcześniej \(\displaystyle{ \frac{A _{1} }{A _{5} }=0,3984375}\)
Po dołożeniu w mieszaninie będzie:

\(\displaystyle{ A=11,94825kg\\
B=4,005kg\\
C=1,335kg\\
D=22,0275kg}\)


Dokładamy i na tym koniec. Potem dozujemy jak w recepturze.
ODPOWIEDZ