operator pędu

[Karolina721]

Wyznaczyć operator kwadratu pędu.

[pesel]

Operator pędu (i-tej składowej):

\(\displaystyle{ \hat {p_{i}}=-i \hbar \frac{ \partial}{\partial x_{i}}}\)

Operator kwadratu pędu:

\(\displaystyle{ \hat {p_{i}^{2}}=\hat {p_{i}} \hat {p_{i}}=(-i \hbar \frac{ \partial}{\partial x_{i}})(-i \hbar \frac{ \partial}{\partial x_{i}})=i^{2}\hbar^{2} \frac{\partial}{\partial x_{i}} \frac{\partial}{\partial x_{i}}= - \hbar^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}\)

Ponieważ:

\(\displaystyle{ i^{2}=-1}\)

[Karolina721]

a jak będziemy mieli po trzech zmiennych tzn.: \(\displaystyle{ \hat M^{2} =\hat M \cdot \hat M= M^{2}_{x}+ M^{2}_{y}+ M^{2}_{z}}\) to jak to wyliczyć?

[pesel]

\(\displaystyle{ - \hbar^{2} \left ( \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+ \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}\right )}\)

Po prostu wszystkie pochodne mieszane typu:

\(\displaystyle{ \left ( \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial y} \right )...}\)

będą równe zero bo i-ta składowa zależy tylko od zmiennej i a nie zależy od j. Tak jakbyś różniczkowała po y coś co zależy tylko od x.